特殊化預序

在數學分支拓撲學中，特殊化（或規範）預序是在拓撲空間上的自然預序。對在實踐中考慮的大多數空間，特別是滿足T₀ 分離公理的那些空間，這個預序甚至是偏序（叫做特殊化序）。在另一方面，對於T₁空間這個次序成為平凡的而沒有價值。

特殊化序經常在計算機科學應用中考慮，這裏的T₀空間出現在指稱語義中。特殊化序對於識別在偏序集合上合適的拓撲空間是重要的，這在序理論所要做的。

定義和動機

考慮任何拓撲空間X。在X上的特殊化預序≤定義自設置

x ≤ y 若且唯若cl{x}是cl{y}的子集，

這裏的cl{x}指示單元素集合{x}的閉包，就是說，包含{x}的所有閉集的交集。儘管這個簡短定義是方便的，注意下列陳述是等價的是有幫助的：

x ≤ y若且唯若y包含在所有包含x的開集中。

這解釋了為什麼說是「特殊化」: y比x更特殊，因為它包含在更多開集中。這是顯著直覺性的，如果你把開集看作一個點x可以有也可以沒有的性質。更多開集包含一個點，它就有更多性質，因而它更加特殊。這種用法相容於經典邏輯概念屬(genus)和種(species)；並相容於代數幾何的一般點的傳統用法。特殊化作為想法還應用於求值理論中。

上部元素更特殊的直覺可典型在在域理論中找到，它是在計算機科學中充分應用的序理論分支。

上部和下部集合

設X是拓撲空間並設≤是在X上的特殊化預序。關於≤所有開集都是上部集合而所有閉集都是下部集合。反過來一般不是真的。事實上，拓撲空間是Alexandrov空間，若且唯若所有上部集合都是開集(或所有閉集都是下部集合)。

設A是X的子集。包含A的最小上部集合指示為↑A 而包含A的最小下部集合指示為↓A。在A = {x}是單元素集合的情況下，我們使用符號↑x和↓x。對於x ∈ X我們有：

↑x = {y ∈ X : x ≤ y} = ∩{包含x的開集}。
↓x = {y ∈ X : y ≤ x} = ∩{包含x的閉集} = cl{x}。

下部集合↓x總是閉集；但是上部集合↑x不必須是開集或閉集。拓撲空間X的閉合點完全就是X關於≤的極小元。

例子

謝爾賓斯基空間 $\{0,1\}$ 帶有開集 $\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}$ ，特殊化次序是自然次序 (0 ≤ 0, 0 ≤ 1和1 ≤ 1)。
如果p, q是Spec(R) (交換環R的譜)的元素則p ≤ q，若且唯若q ⊆ p (如素理想)。所以Spec(R)的閉合點就是極大理想。

重要性質

如名字所暗示的，特殊化預序是預序，就是說它是自反的傳遞的，這實際上是容易看出來的。

由特殊化預序所確定的等價關係就是拓撲不可區分性。就是說，x和y是拓撲可區分的，若且唯若 x ≤ y並且 y ≤ x。因此，≤的反對稱完全就是T₀分離公理：如果x和y是不可區分的，則x = y。在這種情況下它證實了特殊化序的說法。

在另一方面，特殊化預序的對稱等價於R₀分離公理：x ≤ y若且唯若x和y是拓撲不可區分性的。可得出如果底層拓撲是T₁，則特殊化序是離散的，就是說x ≤ y若且唯若x = y。因此特殊化序對於T₁拓撲，特別是所有豪斯多夫空間是沒有多少價值的。

任何在兩個拓撲空間之間的連續函數都是關於這些空間的特殊化預序的單調函數。但是反過來一般不是真的。用範疇論的語言來說，我們在從拓撲空間範疇到預序集合範疇之間的函子，它把一個拓撲空間指派到它的特殊化預序。這個函子有把Alexandrov拓撲放置在預序集合上的左伴隨。

有比T₀空間更特殊的空間對於它這種次序是有價值的：sober空間。它們與特殊化序的聯繫更加微妙：

對於任何sober空間X帶有特殊化序≤，我們有

(X, ≤)是有向完全偏序，就是說 (X, ≤)的所有有向子集S都有上確界 sup S，
對於所有 (X, ≤)的有向子集S和所有的開集O，如果sup S在O中，則S和O有非空交集。

你可以把第二個性質描述為開集是「通過有向上確界不可到達的」。拓撲是關於特定次序≤是序相容的，如果它引發≤作為它的特殊化序，並且它有關於在≤中有向集合的(現存)上確界的不可到達性質。

在次序上的拓撲

特殊化序產生了從所有拓撲獲得偏序的工具。自然要問反過來也行嗎：所有偏序都是作為某個拓撲的特殊化序而獲得的嗎?

實際上，這個問題的答案是肯定的，一般的在集合X上有很多拓撲，它們引發給定次序≤作為它們的特殊化序。次序≤的Alexandroff拓撲扮演了特殊角色：它是引發≤的最精細的拓撲。另一個極端，引發≤的最粗糙的拓撲是上部拓撲，在其中集合{y in X | y ≤ x}(對於某個X中的x in )的所有補集都是開集的最小的拓撲。

在這兩個極端之間還有有趣的拓撲。對於給定次序≤在上述序相容意義上最精細的拓撲是斯科特拓撲。但是上部拓撲仍市最粗糙的序相容拓撲。事實上它的開集甚至用任何上確界都不能到達。因此任何sober空間帶有特殊化序≤都精細於上部拓撲並粗糙於斯科特拓撲。然而，這種空間可能不存在。特別是斯科特拓撲不必然是sober拓撲。

引用

M.M. Bonsangue, Topological Duality in Semantics, volume 8 of Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 1998. Revised version of author's Ph.D. thesis. Available online, see especially Chapter 5^{[永久失效連結]}, that explains the motivations from the viewpoint of denotational semantics in computer science. See also the authors homepage （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.