猴鞍面

數學中，猴鞍面（monkey saddle）是方程

z=x^{3}-3xy^{2}

定義的曲面。用圓柱坐標系也可寫作

z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).

猴鞍面屬於鞍面，名稱來源於這樣的觀察：給猴子準備的鞍需要兩個凹陷來放腿，一個凹陷來放尾巴。猴鞍面的原點對應 $z(x,\ y)$ 在原點的退化臨界點。猴鞍面有一個孤立的臍點，原點處的高斯曲率為零，而在所有其他點的曲率都是嚴格負的。可通過複數將直角坐標與圓柱坐標聯繫起來：

z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).

將圓柱方程中的3替換為任意整數 $k\geq 1$ ，就可以得到具有k凹陷的鞍面。 ^[1]

猴鞍面的另一個方向是由 $x+y+z+xyz=0$ 定義的Smelt花瓣，因此猴鞍面的z軸對應Smelt花瓣中的 $(1,1,1)$ 方向。^[2]^[3]

馬鞍面

馬鞍面（horse saddle）指 $z(x,\ y)$ 在x-y平面的每個方向上都有一個鞍點、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每個方向上都有靜止的拐點。

^ Peckham, S.D. (2011) Monkey, starfish and octopus saddles, Proceedings of Geomorphometry 2011, Redlands, CA, pp. 31-34, https://www.researchgate.net/publication/256808897_Monkey_Starfish_and_Octopus_Saddles
^ J., Rimrott, F. P. Introductory Attitude Dynamics. New York, NY: Springer New York. 1989: 26. ISBN 9781461235026. OCLC 852789976.
^ Chesser, H.; Rimrott, F.P.J. Rasmussen, H. , 編. Magnus Triangle and Smelt Petal. CANCAM '85: Proceedings, Tenth Canadian Congress of Applied Mechanics, June 2-7, 1985, the University of Western Ontario, London, Ontario, Canada. 1985.