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粘性解

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數學中,粘性解是20世紀80年代早期由皮埃爾-路易·利翁Michael G. Crandall作為對偏微分方程(PDE)經典解的擴展而引入的。粘性解在PDE的許多應用中作為解是非常自然的,例如優化控制中的一階偏微分方程(哈密頓-雅可比-貝爾曼方程),微分對策中(Hamilton–Jacobi–Isaacs equation),前端演化問題(front evolution problem)[1],還有二階方程,例如在隨機優化控制或隨機微分博弈(stochastic differential game)中出現的。

經典的概念是在域中PDE

有解,如果能找到在整個域上連續且可微的函數u(x),使得x, uDuu的微分)在每個點都滿足上面的等式。

在粘性解的意義下,u不需要在每個點都可微。可能在有些點上Du不存在,即u中存在扭結(kink)但u在適當意義下滿足等式。雖然在某個點上Du可能不存在,但可以使用下面定義的上微分(superdifferential)下微分(subdifferential)代替。

定義1.

定義2.

一般地,集合中的每個"斜率"(slope)的一個上界,集合中每個"斜率"(slope)的一個下界。

定義3. 連續函數u是上面PDE的一個粘性上解(viscosity subsolution),如果滿足

定義4. 連續函數u是上面PDE的一個粘性下解(viscosity supersolution),如果滿足

定義5.連續函數u是PDE的一個粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解

粘性解存在不需引入上(下)微分概念的等價定義,見Fleming與Soner書[2]中的第II.4節。

參考文獻

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  1. ^ I. Dolcetta and P. Lions, eds.,(1995), Viscosity Solutions and Applications. Springer, ISBN 978-3-540-62910-8.
  2. ^ Wendell H. Fleming, H. M . Soner., eds.,(2006), Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer, ISBN 978-0387-260457.