緊生成空間

在拓撲學中，緊生成空間（又稱k-空間）是一種拓撲空間、其拓撲為所有緊緻子空間族的凝聚。具體而言，我們稱拓撲空間X 為緊生成空間，當它滿足：

子空間A 是X 中的閉集當且僅當對所有緊子集K ⊆X，A ∩K 是K 中的閉集。

等價地，我們也可以將以上條件中的「閉集」替換成「開集」。實際上，只要X 的拓撲是任意緊覆蓋的凝聚（在以上的意義上），那麼它的拓撲就是所有緊緻子空間的凝聚。

相似地，緊生成郝斯多夫空間 是緊生成的郝斯多夫空間。與許多緊緻性條件類似，「緊生成空間」也經常代指緊生成郝斯多夫空間。

動機

緊生成空間最初被稱為k-空間，由德語kompakt 得名。胡列維茨最先研究了緊生成空間，在Kelley的《一般拓撲學》、Dugundji的《拓撲學》、Félix、Halperin及Thomas的《有理同倫論》等著作中可以找到對緊生成空間的記錄。

對緊生成空間的更深層的研究始於1960年代，其動機是慣常的拓撲範疇有着公認的缺陷。這個缺陷是它並非笛卡兒閉範疇，即粘合映射的笛卡兒積並不總是粘合映射，而CW複形的笛卡兒積並不總是CW複形。相比之下，單純集合的範疇則有許多方便的性質，其中就包括了笛卡兒閉。對如何補救這個缺陷，數學家們作了長時間的研究；這段歷史在ncatlab網站上的文章convenient categories of spaces （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）中有更詳細的記載。

最初的補救嘗試（於1962年）是限制到緊生成郝斯多夫空間這一完全子範疇中，而這個子範疇事實上確是笛卡兒閉的。這些想法延伸到de Vries對偶性定理。在下文我們將給出冪物件的定義。另一個嘗試（於1964年）則是考慮慣常的郝斯多夫空間，但將映射改為在緊緻子集上連續的函數。

這些想法都可以推廣到非郝斯多夫的情況，參考Topology and groupoids （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）一書的第5章第9節。這個推廣的意義在於，郝斯多夫空間的粘合空間並不一定是郝斯多夫空間。更多相關資訊，請參考Booth與Tillotson的論文。

範例

數學中大多數常用的拓撲空間都是緊生成的。

所有緊空間都是緊生成的。
所有局部緊空間是緊生成的。
所有第一可數空間都是緊生成的。
拓撲流形是局部緊的郝斯多夫空間，因此也是緊生成郝斯多夫空間。
度量空間是第一可數空間（甚至是第二可數），因此也是緊生成郝斯多夫空間。
所有CW複形都是緊生成郝斯多夫空間。

性質

我們用CGTop代表Top的物件為緊生成空間的完全子範疇，而用CGHaus代表CGTop的物件為同時滿足郝斯多夫的空間的完全子範疇。

給定任意拓撲空間X，我們可以如下在X 上定義一個新的、可能更精細的拓撲，使X 為緊生成空間。設 {K_α} 為X 的緊緻集合的搜集。我們聲明X 的子集A 在新拓撲中為閉集當且僅當對於任意α，A ∩K_α 在K_α 中都是閉集。記新空間為X_c 。我們可以證明X_c 中的緊緻集合與X 中的完全一致，而且這些緊緻集合從兩空間誘導的相對化拓撲也相同。由此可以推出，X_c 是緊生成空間，並且如果X 本身已經是緊生成的，那麼X_c = X ，否則X_c 將嚴格比X 精緻（即擁有更多開集）。

以上的構造是函子性的，即把X 映射到X_c 是從Top到CGTop的函子，而且這個函子是CGTop → Top的包含函子的右伴隨。

定義在緊生成空間X 上的映射的連續性可以完全由X 的緊緻子集決定。具體而言，函數f :X →Y 是連續的當且僅當它在每一個緊緻子集K ⊆X 上的限制都是連續的。

即使X 和Y 均是緊生成空間，他們的積X × Y 也不一定是緊生成的（但若至少其中一個因子是局部緊的，那麼積就是緊生成的）。因此，在緊生成空間的範疇內，我們必須定義X 和Y 的積為(X ×Y )_c 。

範疇CGHaus中的冪物件是由(Y ^X )_c 給出，其中Y ^X 代表從X 到Y 的連續函數的空間，賦予緊緻開拓撲。

這些概念可以被推廣到非郝斯多夫的情況，參考Topology and groupoids （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）一書的第5章第9節。推廣的意義在於郝斯多夫空間的粘合空間不一定是郝斯多夫空間。

另見

參考資料

Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98403-8.
Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6.
Brown, Ronald. Topology and Groupoids. Charlottsville, N. Carolina: Booksurge. 2006. ISBN 1-4196-2722-8.
P. I. Booth and J. Tillotson, "Monoidal Closed Categories and Convenient Categories of Topological Spaces", Pacific Journal of Mathematics, 88 (1980) 33-53.
Strickland, Neil P. The category of CGWH spaces (PDF). 2009 [2015-08-17]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03）.
nLab的Convenient category of topological spaces條目