非線性特徵值問題

非線性特徵值問題是特徵值, 非線性依賴於特徵值的方程的特徵值問題的推廣. 具體來說, 非線性特徵值問題指的是具以下形式的方程:

$A(\lambda )\mathbf {x} =0,\,$

其中 x 是向量(非線性"特徵向量"), A 是 $\lambda$ (非線性"特徵根")的函數矩陣.(更一般的, $A(\lambda )$ 可以是一個線性映射, 但最常用的是有限維矩陣, 通常為方陣.) 通常要求 A 為 $\lambda$ (在某個定義域內)的全純函數.

例如, 特徵值問題 $B\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$, 其中 B 為方陣, 對應於 $A(\lambda )=B-\lambda I$ 的特徵值問題, 其中 I 是單位矩陣.

常見的情況是多項式特徵值問題, 其中 A 為多項式矩陣. 特別的, 當多項式的次數為二時被稱作二次特徵值問題, 此時 A 具有以下形式:

$A(\lambda )\mathbf {x} =(A_{2}\lambda ^{2}+A_{1}\lambda +A_{0})\mathbf {x} =0,\,$

其中 A_0,1,2 為常數矩陣. 該問題可通過定義新的向量 $\mathbf {y} =\lambda \mathbf {x}$ 轉化為正常的特徵值問題, 即

${\begin{pmatrix}-A_{0}&0\\0&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\\mathbf {y} \end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\\mathbf {y} \end{pmatrix}},$

其中 I 為單位矩陣. 更一般的, 如果 A 是 d 次多項式矩陣，那麼多項式特徵值問題可以轉化為 d倍大小的(廣義)線性特徵值問題.

由於將非線性特徵值問題只能在 A 為多項式的情況下轉化為正常的特徵值問題, 有許多其他的解決非線性特徵問題的方法, 這些方法基於雅可比戴維森算法或牛頓法(反冪法).

參考資料

• Françoise Tisseur and Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review '43' (2), 235-286 (2001).
• Gene H. Golub and Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics '123', 35-65 (2000).
• Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM J. Matrix. Anal. Appl. '20' (3), 575-595 (1999).
• Axel Ruhe, "Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem," SIAM Journal on Numerical Analysis '10' (4), 674-689 (1973).