2維球面的正交投影 3維球面的平行線（紅色）、 子午線 （藍色）以及超子午線（綠色）的立體投影法 。 因為立體投影法的共形 特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即直線）。 n 維球面球面 在任意維度 的推廣。它是(n + 1)維空間內的n 維流形 。特別地，0維球面就是直線上的兩個點，1維球面是平面 上的圓 ，2維球面是三維空間內的普通球面。高於2維的球面有時稱為超球面 。中心位於原點且半徑為單位長度的n 維球面稱為單位n 維球面 ，記為S n
S
n
=
{
x
∈
R
n
+
1
:
‖
x
‖
=
1
}
.
{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}.}
n 維球面是(n + 1)維球體 的表面或邊界，是n 維流形的一種。對於n ≥ 2，n 維球面是單連通 的n 維流形，其曲率為正的常數。
對於任何自然數 n ，半徑 為r 的n 維球面定義為(n + 1)維歐幾里得空間 中到某個定點的距離等於常數r 的所有點的集合，其中r 可以是任何正的實數。它是(n + 1)維空間內的n 維流形 。特別地：
0維球面是直線上的兩個點{p − r , p + r }；
1維球面是平面 上的圓 ；
2維球面是三維空間內的普通球面；
3維球面 是四維空間內的球面。(n + 1)維空間中的點(x 1 , x 2 , ..., x n +1n 維球面（S n r )），由以下方程表示：
r
2
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
x
i
−
C
i
)
2
.
{\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.\,}
其中C 是中心點，r 是半徑。
以上的n 維球面在(n + 1)維空間中存在，是n 維流形的一個例子。半徑為
r
{\displaystyle r}
n 維球面的體積形式 ω由下式給出：
ω
=
1
r
∑
j
=
1
n
+
1
(
−
1
)
j
−
1
x
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
j
−
1
∧
d
x
j
+
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
1
=
∗
d
r
{\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}
其中*是霍奇星算子 （關於討論和這個公式在r = 1的情形下的證明，請參見Flanders (1989 ，§6.1)）。因此，
d
r
∧
ω
=
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
1
.
{\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
由n 維球面所包圍的體積，稱為(n + 1)維球體 。如果把球體的表面包括在內，則(n + 1)維球體是封閉 的，否則是開放 的。
特別地：
1維球體，是一個線段 ，是0維球面的內部。
2維球體，是一個圓盤 ，是圓（1維球面）的內部。
3維球體，是一個普通的球體 ，是球面（2維球面）的內部。
4維球體，是3維球面的內部。
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
n
{\displaystyle n}
V
n
=
π
n
2
R
n
Γ
(
n
2
+
1
)
=
C
n
R
n
{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}}
其中
Γ
{\displaystyle \Gamma }
伽瑪函數 。對於偶數
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
2
+
1
)
=
(
n
2
)
!
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\left({\frac {n}{2}}\right)!}
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
2
+
1
)
=
π
n
!
!
2
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}
n
!
!
{\displaystyle n!!}
雙階乘 。
由此可以推出，對於給定的
n
{\displaystyle n}
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
n
=
π
k
k
!
{\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}
n =2k ），
C
n
=
C
2
k
+
1
=
2
2
k
+
1
k
!
π
k
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle C_{n}=C_{2k+1}={\frac {2^{2k+1}k!\,\pi ^{k}}{(2k+1)!}}}
n =2k +1）。這個(n-1)維球面的表面積 是：
S
n
−
1
=
d
V
n
d
R
=
n
V
n
R
=
2
π
n
2
R
n
−
1
Γ
(
n
2
)
=
n
C
n
R
n
−
1
{\displaystyle S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}}
n 維球面的表面積和體積之間有以下的關係：
V
n
/
S
n
−
1
=
R
/
n
{\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n\,}
S
n
+
1
/
V
n
=
2
π
R
{\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R\,}
從此可以推導出遞歸關係：
V
n
=
2
π
R
2
n
V
n
−
2
{\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}\,}
這些公式也可以直接從n 維球坐標系 中的積分 推出(Stewart 2006 ，第881頁)。
對於較小的
n
{\displaystyle n}
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
V
n
{\displaystyle V_{n}}
V
0
{\displaystyle V_{0}\,}
=
1
{\displaystyle 1\,}
V
1
{\displaystyle V_{1}\,}
=
2
R
{\displaystyle 2\,R}
≈
{\displaystyle \approx }
2.00000
R
{\displaystyle 2.00000\,R}
V
2
{\displaystyle V_{2}\,}
=
π
R
2
{\displaystyle \pi \,R^{2}}
≈
{\displaystyle \approx }
3.14159
R
2
{\displaystyle 3.14159\,R^{2}}
V
3
{\displaystyle V_{3}\,}
=
4
π
3
R
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\,R^{3}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.18879
R
3
{\displaystyle 4.18879\,R^{3}}
V
4
{\displaystyle V_{4}\,}
=
π
2
2
R
4
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}\,R^{4}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.93480
R
4
{\displaystyle 4.93480\,R^{4}}
V
5
{\displaystyle V_{5}\,}
=
8
π
2
15
R
5
{\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}\,R^{5}}
≈
{\displaystyle \approx }
5.26379
R
5
{\displaystyle 5.26379\,R^{5}}
V
6
{\displaystyle V_{6}\,}
=
π
3
6
R
6
{\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}\,R^{6}}
≈
{\displaystyle \approx }
5.16771
R
6
{\displaystyle 5.16771\,R^{6}}
V
7
{\displaystyle V_{7}\,}
=
16
π
3
105
R
7
{\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,R^{7}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.72477
R
7
{\displaystyle 4.72477\,R^{7}}
V
8
{\displaystyle V_{8}\,}
=
π
4
24
R
8
{\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.05871
R
8
{\displaystyle 4.05871\,R^{8}}
但當
n
{\displaystyle n}
V
n
R
n
{\displaystyle {\frac {V_{n}}{R^{n}}}}
如果維度n 不限於整數，那麼n維球面的體積就是n 的連續函數 ，它的極大值 位於n = 5.2569464...，體積為5.277768...。當n = 0或n = 12.76405...時，體積為1。
單位n 維球面的外切超正方體 的邊長為2，因此體積為2n n 維球面的體積與外切於它的超正方體的體積之比單調減少。
我們可以定義n維空間內的坐標系統，與3維空間內的球坐標系 類似，由徑向坐標
r
{\displaystyle \ r}
n
−
1
{\displaystyle \ n-1}
ϕ
1
,
ϕ
2
,
.
.
.
,
ϕ
n
−
1
{\displaystyle \ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}
x
i
{\displaystyle \ x_{i}}
x
1
=
r
cos
(
ϕ
1
)
{\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,}
x
2
=
r
sin
(
ϕ
1
)
cos
(
ϕ
2
)
{\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,}
x
3
=
r
sin
(
ϕ
1
)
sin
(
ϕ
2
)
cos
(
ϕ
3
)
{\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
x
n
−
1
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,}
x
n
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,}
從中可以推出逆轉換的公式：
tan
(
ϕ
n
−
1
)
=
x
n
x
n
−
1
{\displaystyle \tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}
tan
(
ϕ
n
−
2
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
x
n
−
2
{\displaystyle \tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
tan
(
ϕ
1
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
+
⋯
+
x
2
2
x
1
{\displaystyle \tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}}
注意最後一個角
ϕ
n
−
1
{\displaystyle \phi _{n-1}}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
π
{\displaystyle \pi }
n 維空間內的體積元素 可以從轉換的雅可比行列式 得出：
d
R
n
V
=
|
det
∂
(
x
i
)
∂
(
r
,
ϕ
j
)
|
d
r
d
ϕ
1
d
ϕ
2
…
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
=
r
n
−
1
sin
n
−
2
(
ϕ
1
)
sin
n
−
3
(
ϕ
2
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
d
r
d
ϕ
1
d
ϕ
2
⋯
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle =r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}}
以上n維球體的體積方程可以通過積分來重新得出：
V
n
=
∫
r
=
0
R
∫
ϕ
1
=
0
π
⋯
∫
ϕ
n
−
2
=
0
π
∫
ϕ
n
−
1
=
0
2
π
d
R
n
V
.
{\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,}
(n -1)–維球面的體積元素是2維球面的面積元素 的推廣，由以下公式給出：
d
S
n
−
1
V
=
sin
n
−
2
(
ϕ
1
)
sin
n
−
3
(
ϕ
2
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
d
ϕ
1
d
ϕ
2
…
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
就像三維空間中的二維球面可以通過球極平面投影 映射到二維平面上一樣，一個n維球面也可以通過球極平面投影的n維形式映射到n維超平面。例如，半徑為1的二維球面上的點
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle \ [x,y,z]}
x
y
{\displaystyle \ xy}
[
x
,
y
,
z
]
↦
[
x
1
−
z
,
y
1
−
z
]
{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}
[
x
,
y
,
z
]
↦
[
x
1
−
z
,
y
1
−
z
]
.
{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}
類似地，半徑為1的n維球面
S
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
R
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}}
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
↦
[
x
1
1
−
x
n
,
x
2
1
−
x
n
,
…
,
x
n
−
1
1
−
x
n
]
.
{\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}
Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications , 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere , Prentice Hall , 1996 [2008-09-13 ] , ISBN 978-0-13-373770-7存檔 於2008-07-04） Weeks, Jeffrey R. , The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0 Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006
![{\displaystyle \ [x,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0f89ff6261ec005201a413ba66496eddb00cb4)
![{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99eb9f3dd9cdc9934cb9ba36fe04b93cc535d30f)
![{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94edd94029873420ba81be57bc13326453aacc3f)
![{\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d724ec5ccaf13bd398dedce93ba71fa382b39c7)
