印符數論

印符數論（英語：Typographical Number Thoery，簡稱TNT），是一種用來描述自然數的形式公理系統，由侯世達在《哥德爾、埃舍爾、巴赫》一書中提出。TNT是皮亞諾算術的一種實現，侯世達以此來解釋哥德爾不完備定理。

如同其他實現皮亞諾公理的系統，TNT是自指的。

數字

TNT並沒有對每一自然數指定不同的符號，而是使用一種統一的方式來表示所有自然數。其中符號S可理解為「後繼」之意。

零	0
一	S0
二	SS0
三	SSS0
四	SSSS0
五	SSSSS0

變元

為了表示不定項，TNT中使用了五個變元，分別為：

a, b, c, d, e

通過添加撇號可以構造出更多的變元，如：

a', b', c', a'', a'''

另外一種「簡樸的」版本的TNT僅使用a與撇號表示變元：

a', a'', a''', ...

操作符

加法與乘法

TNT中使用「+」表示加法、「·」表示乘法。因此「b加c」可表示為

(b + c)

而「a乘d」則可以寫為

(a·d)

其中括號是必須的。此外加法與乘法都是二元運算，因而「a加b加c」改須寫為

((a + b) + c)

或

(a + (b + c))

等於

「=」在TNT中表示「等於」的概念，例如

(SSS0 + SSS0) = SSSSSS0

在TNT中是一個真命題，表示「3加3等於6」。

否定

「~」表示否定之意，例如

~(SSS0 + SSS0) = SSSSSSS0

在TNT中是一個真命題，表示「3加3不等於7」。

其中否定是指邏輯非，例如「我在吃葡萄柚」的否定是「我不在吃葡萄柚」，而不是「我在吃葡萄柚以外的東西」。又比如，「電視開着」的否定是「電視沒有開着」，而不是「電視關着」。

量詞

TNT中使用了∀（全稱量詞，表示「任何」）與∃（存在量詞，表示「存在」）兩個量詞。例如，

∀a:∀b:[ (a + b) = (b + a) ]

（「對任意數a與數b，a加b等於b加a」，或用更概括的說法為「加法是可交換的」）

~∃c:Sc = 0

（「不存在數c使得c加一等於零」，或用更概括的說法為「零不是任何數的後繼」）

原子與命題陳述

命題演算中除原子符號外的所有符號都被用於TNT之中，並保持原來的解釋。

原子則被關於相等陳述的串替代，如

1不等於2：

~ S0=SS0

2加3等於5：

(SS0 + SSS0) = SSSSS0

2加2不等於3：

~[ (SS0 + SS0) = SSS0 ]

參考文獻

• Hofstadter, Douglas R., Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books, 1999 [1979], ISBN 0-465-02656-7 .