變分分析
數學中，變分分析（variational analysis）通常指從凸優化和經典變分法到更一般理論的組合與擴展。[1]這包括優化理論的更一般問題，如集值分析中的廣義導數等。
數學學科分類標準（MSC2010）中，「集值與變分分析」領域的編碼為「49J53」。[2]
歷史
[編輯]這一數學領域歷史悠久，不過「變分分析」一詞在這領域最早見於R. Tyrrell Rockafellar與Roger J-B Wets的同名著作中。[1]
最小值的存在
[編輯]一個經典結果是，緊集上的下半連續函數必有最小值。只要函數有下界，變分分析結果（如艾克蘭德變分原理）就允許我們將這結果推廣到非緊集上的下半連續函數，代價是給函數增加一個小擾動。
廣義導數
[編輯]費馬引理指出，若可微函數有最小值，且是定義域的內點，則在該點的導數必為零。對於光滑函數必須再其他光滑函數等於零的約束下的最小化問題，拉格朗日乘數法給出了函數導數須滿足的必要條件。
通過將導數概念推廣到次導數，這些經典結果的思想可以推廣到不可微凸函數。克拉克廣義梯度等進一步推廣可將其推廣到非光滑局部利普希茨函數。[3]
另見
[編輯]引用
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Rockafellar & Wets 2009.
- ^ 49J53 Set-valued and variational analysis. 2010-06-05 [2024-03-08]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
- ^ Frank H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, 1990.
參考文獻
[編輯]- Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. 2009-06-26. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
