圓排列

數學中，特別是群論中，圓排列（英語：Cyclic permutation），又稱圓周排列、環狀排列、循環排列，直觀地，是指從$n$個不同元素中選出$r$個元素排列成一個圓的形狀。

定義

圓排列並沒有統一的精確定義。有些作者對圓排列的定義是僅有一個輪換的排列。其他作者則使用更寬鬆的定義，允許不動點的存在。

例如排列

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&2&7&6&5&8&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&6&8&3&7&2&5\\4&6&8&3&7&1&2&5\end{pmatrix}}$

有一個6-輪換和兩個1-輪換（不動點）。對上述較為寬鬆的定義，這個排列是圓排列，而對較嚴格的定義則不算。

計算公式

與一般的線性排列不同，圓排列由於首位元素相鄰因此需要考慮由循環移位帶來的相同排列，不考慮循環移位的排列數為P(n,r)，圓周上r個元素的循環移位數為r，故圓排列數為

$Q(n,r)={\frac {P(n,r)}{r}}={\frac {n!}{r\cdot (n-r)!}}$

特別地，n個元素的圓排列個數是(n-1)!，該結論也可以由波利亞計數定理得到。