基 (拓撲學)

在拓撲學的相關領域中，拓撲基(英語：base 或 basis) 是某種特殊集族，它們的任意併集構成了一個拓撲結構。基在拓撲學的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的連續就可以直接對基來做定義。

動機

拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意併集都是「開」的；嚴謹來說，令 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 為集合 $X$ 的一個子集族，希望 ${\mathcal {F}}$ 內任意一群子集之併集所組成的 ${\mathcal {U}}$ ：

${\mathcal {U}}:=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}$

為 $X$ 上的拓撲。

定理 — 
集合 $X$ 有子集族 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ， 設 ：

$\tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}$

則「 $\tau$ 為 $X$ 上的拓撲 」，等價於以下兩條件：

• $\bigcup {\mathcal {F}}=X$
• 對所有 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，$B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}$

證明

以下逐條檢驗拓撲的定義： (1) 等價於「 $X\in {\mathcal {U}}$」的條件 若 $X\in {\mathcal {U}}$ ，則： $(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\right]$(a) 考慮到 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ，所以根據有無限併集性質的定理(1)與(2)有 $\bigcup {\mathcal {F}}\subseteq X$ 但根據無限併集性質的定理(1)，(a)又等價於： $(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}\right)\right]$ 所以有： $X\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}$ 所以從 $X\in {\mathcal {U}}$ 有： $\bigcup {\mathcal {F}}=X$ (a1) 反之若有 (a1)，因為 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ，所以有 $X\in {\mathcal {U}}$ 。故在本定理的前提下，(a1)等價於 $X\in {\mathcal {U}}$ 。 (2) $\varnothing \in {\mathcal {U}}$ 首先考慮到 $\varnothing \subseteq {\mathcal {F}}$，然後從無限併集性質的定理(0)有 $\varnothing =\bigcup \varnothing$，故 $\varnothing \in {\mathcal {U}}$。 (3) 對任意 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$ 有 $\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}$ 首先，${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$ 可等價地展開為 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left[({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {B}}=A\right)\right]$(b) 上式可直觀地解釋成「 $A\in {\mathfrak {A}}$ 都是 ${\mathcal {F}}$ 內某些集合的併集」，既然如此，取一個蒐集各種不同 $A$ 的子集的集族 ${\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}$ ： ${\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}:=\left\{S\,|\,(\exists A)[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)]\right\}$ 這樣根據有限交集的性質，$x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})$ 等價於 $(\exists S)\left\{(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}$ 考慮到一階邏輯的定理(Ce)，將$(\exists A)$ 移至最前，再將$(\exists S)$移入括弧內 ，上式就依據(Equv)而等價於 $(\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (\exists S)\left[(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}$ 也就等價於 $(\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge \left(x\in \bigcup [{\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {F}}]\right)\right\}$ 根據無限併集性質的定理(4)，從(b)有 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left\{({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {B}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}\right\}$ 這樣根據無限併集性質的定理(1)又會有 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}$ 考慮到 ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq {\mathcal {P}}(A)$ ，從無限併集性質的定理(1)與定理(2)有 $\bigcup {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq A$ 所以最後從(b)有 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}$ 所以 $x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})$ 最後等價於 $(\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (x\in A)\right]$ 換句話說 $x\in \bigcup {\mathfrak {A}}$ 這樣考慮到 ${\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}$ 就有 $\bigcup {\mathfrak {A}}=\bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})\in {\mathcal {U}}$ 所以在本定理的前提下， 對所有 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$ 都有 $\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}$ 。 (4)等價於「 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 則 $U\cap V\in {\mathcal {U}}$」的條件 若 「對所有的 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 有 $U\cap V\in {\mathcal {U}}$」(P) 因取任意 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ 都有： $B_{1}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}$ $B_{2}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}$ 故 $B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}$ ，換句話說從假設(P)可以推出： 「對所有 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，$B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}$」(P') 另一方面， $U\cap V\in {\mathcal {U}}$ 可等價地展開為： $(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U\cap V=\bigcup {\mathcal {E}}\right)\right\}$ 因為 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 可等價地展開為： $(\exists {\mathcal {A}})\left[\left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]$ $(\exists {\mathcal {B}})\left[\left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]$ 所以在 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 的前提下 $U\cap V\in {\mathcal {U}}$ 又可更進一步等價地展開為： $(\exists {\mathcal {A}})(\exists {\mathcal {B}})(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}},\,{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge \left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge \left[\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)=\bigcup {\mathcal {E}}\right]\right\}$ 此時考慮到一階邏輯的定理(Ce)，連續使用兩次會有： $\left[x\in \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)\right]\Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (x\in A\cap B)]$ 這樣的話，若取一個包含所有 $A\cap B$ 的集族： ${\mathcal {C}}:=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (S=A\cap B)]\right\}$ 這樣就有： $\bigcup {\mathcal {C}}=\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)$ 而且考慮到 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}$ 和 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ，所以在(P')的前提下，所有的 $A\cap B$ 都在 ${\mathcal {U}}$ 裏，換句話說，${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {U}}$ ，故從上小結的結果有： $U\cap V\in {\mathcal {U}}$ 所以，(P')跟(P)等價。 綜合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得證。$\Box$

一般會根據無限併集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：

「對所有 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ， $B_{1}\cap B_{2}=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]$」

也就等價於：

「所有的 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，對任意 $x\in B_{1}\cap B_{2}$ 都存在 $C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]$ 使得 $x\in C$」

定義

由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

定義 — 
${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 為集合 $X$ 的一個子集族，若滿足：

• $\bigcup {\mathfrak {B}}=X$　（基的元素覆蓋$X$）
• 所有的 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，對任意 $x\in B_{1}\cap B_{2}$ 都存在 $C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]$ 使得 $x\in C$

則稱 ${\mathfrak {B}}$ 為 $X$ 的一個拓撲基（Topological Basis）。而：

$\tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}$

則稱為由基 ${\mathfrak {B}}$ 所生成的拓撲。

範例

以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

• 任意實數 $r\in \mathbb {R}$ 都包含在某個開區間裏，如 $(r-1,\,r+1)$ 。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
• 任何兩個開區間的交集要麼也是開區間要麼為空。
• 對任意開區間 $(a,\,b)$ 內的實數 $c\in (a,\,b)$ ，都有一個比 $(a,\,b)$ 更小的開區間也包含 $c$ ，如 $\left({\frac {a+c}{2}},\,{\frac {b+c}{2}}\right)$ 。

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說，以度量空間的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

• 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
• 取任二開球$B_{r_{a}}(a)$和$B_{r_{b}}(b)$，若$x\in B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)$，且 $r=\min\{r_{a}-d(x,\,a),\,r_{b}-d(x,\,b)\}$，則$B_{r}(x)\subseteq B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)$。

重要性質

定理 — 
${\mathcal {B}}$ 是集合 $X$ 的拓撲基，則 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓撲是包含 ${\mathcal {B}}$ 的最粗拓撲

證明

設 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓撲是 $\tau _{\mathcal {B}}$ ；另一方面包含 ${\mathcal {B}}$ 的最粗拓撲為 $\tau ({\mathcal {B}})$ 。 根據最粗拓撲的定義有： $\vdash (\forall S){\big \{}[S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}{\big \}}$(a) 那以量詞公理(A4) 將 $\forall S$ 去掉會有： $\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}$ 那再使用量詞公理(A4)，配合(D1)會有： $\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow \{[(\tau _{B}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq \tau _{B})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})\}$ 因為 $\tau _{\mathcal {B}}$ 是 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓撲，配合(D2)有：（${\mathcal {P}}$ 為 「${\mathcal {B}}$ 是 $X$ 的拓撲基」的正式敘述） ${\mathcal {P}}\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})$ 另一方面，根據拓撲基的定義有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\exists {\mathcal {C}})\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]$ 而根據拓撲的定義(關於併集的部分)與演繹定理會有： ${\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})],\,\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\vdash (S\in {\mathfrak {T}})$ 這樣根據(GEN)與演繹定理就有： ${\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\vdash (\exists C)\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})$ 換句話說，從演繹定理與(D1)有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash [({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})$ 那從普遍化元定理就有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}$ 這樣從(a)，配合(AND)與(D1)就有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash S\in \tau ({\mathcal {B}})$ 這樣從(AND)和演繹定理就有： ${\mathcal {P}}\vdash (S\in \tau _{B})\Leftrightarrow [S\in \tau ({\mathcal {B}})]$ 套用(GEN)將 $\forall S$ 重新加入就會有： ${\mathcal {P}}\vdash \tau _{B}=\tau ({\mathcal {B}})$ 故本定理得証。$\Box$

定理 — 
${\mathcal {B}}_{1}$ 和 ${\mathcal {B}}_{2}$ 都是集合 $X$ 的拓撲基，而 $\tau _{1}$ 為 ${\mathcal {B}}_{1}$ 生成的拓撲； $\tau _{2}$ 為 ${\mathcal {B}}_{2}$ 生成的拓撲，則以下兩敘述價

• $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$
• $(\forall B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1})(\exists B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2})(B_{2}\subseteq B_{1})$

證明

• 如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓撲 T₁,T₂,...,T_n 的基，則集合積 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘積拓撲 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
• 設 B 是 X 的基並設 Y 是 X 的子空間。那麼如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。

定理 — 
${\mathfrak {B}}$是集合$Y$ 的拓撲基（其生成的拓撲為$\tau _{Y}$）； $(X,\,\tau _{X})$為一拓撲空間；$f:X\to Y$為一函數。若對任意$B\in {\mathfrak {B}}_{Y}$有$f^{-1}(B)\in \tau _{X}$，則$f$是$\tau _{X}$-$\tau _{Y}$連續。

證明
若$O\in \tau _{Y}$，根據基的定義，存在${\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {B}}$使得： $O=\bigcup {\mathcal {F}}$ 這樣的話，若取： $f^{-1}({\mathcal {F}})=\{A\,|(\exists B\in {\mathcal {F}})(A=f^{-1}(B))\,\}$ 則有： $f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}({\mathcal {F}})$ $f^{-1}({\mathcal {F}})\subseteq \tau _{X}$ 這樣根據拓撲空間的定義就有： $f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}({\mathcal {F}})\in \tau _{X}$ 故$f$是$\tau _{X}$-$\tau _{Y}$連續。$\Box$

• X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
• B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對於 X 的任何點 x。
• 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

依據基定義的對象

• 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
• 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
• 第二可數空間是有可數基的拓撲。
• 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

閉集基

閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則

1. ∩F = ∅
2. 對於每個 F₁ 和 F₂ 在 F 中，併集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某個子族的交集(就是說，對於任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一個 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 並不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

準基

若拓撲空間$X$是最小的拓撲使得$X$的子集的集$B$都是$X$的開集，則稱$B$為$X$的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若$B$及其所有有限交集構成了拓撲空間$X$之基，則$B$為準基。

例子：

• 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆蓋都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

參考文獻

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.