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希爾伯特第十六問題

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希爾伯特第十六問題,是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份:

  • 實代數曲線與曲面的拓撲結構

哈納克在1876年證明了一個平面上次實代數曲線最多有個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質,並將哈納克的估計推廣到空間裏的實代數曲面。

  • 極限環的拓撲結構

給定二元次實多項式,考慮下述平面上的動力系統

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

總而言之,此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份,我們考慮實多項式的零點;在第二部份,我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線

進展

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希爾伯特第十六問題在1950年代末由蘇聯科學院院士伊萬·彼得羅夫斯基葉夫根尼·蘭迪斯解決。但隨後他們的證明被證明存在漏洞。1980年,中國科學技術大學研究生史松齡,南京大學陳蘭蓀、王明淑分別獨立舉出反例,徹底推翻了二人的證明[1][2]。因此第十六問題至今仍未解決。

文獻

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  • Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc.(1991)
  • Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko(ed.), Concerning the Hilbert 16th problem(1995), Amer. Math. Soc.
  • Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23 (1980), 153-158.
  • Lan Sun Chen, Ming Shu Wang, The relative position, and the number, of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math. Sinica, 22 (1979), 751–758.

參考文獻

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  1. ^ 希尔伯特第十六问题的百年历史 by Yulii Ilyashenko (PDF). [2016-01-03]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-01-19). 
  2. ^ 数学大师们的偶然失误 by 中研院数学研究所 (PDF). [2016-01-03]. (原始內容存檔 (PDF)於2019-11-06). 

外部連結

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