戴德金η函數

戴德金η函數（Dedekind eta function）是定義在上半平面的全純函數，這是權1/2的模形式之一例。

η函數的描繪

對每個屬於上半平面的複數$\tau$，置$q=e^{2\pi i\tau }$，則η函數表為

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$

η函數滿足以下函數方程：

• $\eta (\tau +1)=\exp({\frac {2\pi i}{24}})\eta (\tau )$
• $\eta (-1/\tau )={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\eta (\tau )$

此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓

$re^{i\theta }\mapsto r^{1/2}e^{i\theta /2},\quad |\theta |<\pi /2$。

一般而言，對$a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ab-cd=1$，我們有

$\eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (z)$

其中的自守因子$\epsilon$定為

$\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)$。

而$s(h,k)$為戴德金和

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)$

由此函數方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為

$\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}$。

事實上，由函數方程可知$\eta ^{24}$是權12的模形式，而這類模形式構成複一維向量空間，比較傅里葉展開的常數項，上式立可得證。

拉馬努金有一個著名的猜想：在傅立葉展開式中，對任一素數，的系數的絕對值恆。此猜想最後由德利涅證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫，例如以二次型表示整數以及整數分拆問題。赫克算子（英語：Hecke operator）理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫，同時也聯繫了模形式與表示理論。

文獻

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

外部連結

• 王淑紅，鄧明立. 戴德金对理想论的贡献. 河北師範大學數學與信息科學學院. [2018-12-29]. （原始內容存檔於2021-10-04） （中文（中國大陸））.