普法夫約束

動力學中的普法夫約束（Pfaffian constraint）是一種用以下形式描述系統的方式：

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

其中$L$是系統限制方程的個數。

非完整系統一定可以表示為普法夫約束的形式。

推導

假設一個用以下非完整約束方程組描述的非完整系統

$f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L$

其中$\{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}$是n個描述系統的廣義座標，而$L$是系統約束方程的數量，可以將每一個方程用連鎖律微分：

$\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

經過置換後可以得到下式：

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

例子

單擺

單擺

考慮單擺，其重物的運動會受到擺長的約束，其重物的速度向量${\overrightarrow {V}}$隨時都會和位置向量${\overrightarrow {L}}$垂直。因為二個向量永遠正交，因此其點積恆為零。重物的位置和速度可以用以下$x$-$y$座標系統中的系統來定義：

${\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0$

簡化點積後可得：

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0$

將等號兩邊同乘${\text{d}}t$，結果就是約束方程的普法夫約束形式：

$x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0$

普法夫形式很好用，若非完整約束方程存在，可以將普法夫形式積分來求解系統的非完整約束方程。此例中的積分是很明顯的：

$\int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C$

其中C是積分常數。

也可以寫成

$x^{2}+y^{2}=L^{2}$

$L^{2}$寫成平方項只因為其必定是正數。在實際系統中，座標一定都是實數。而$L$就是單擺的擺長。

機械人

機械人運動規劃中的普法夫約束（Pfaffian constraint），是由k個線性無關約束的集合，而這些約束都對速度線性，也就是說

$A(q){\dot {q}}=0$

輪式機械人（wheeled robot）中滾動不滑動的條件即為普法夫約束。