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篩法基本引理

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數論上,篩法基本引理(fundamental lemma of sieve theory)指的是數個對於把篩法套用到特定問題上的過程進行系統化結果。哈巴施潭英語Heini Halberstam理希英語Hans-Egon Richert [1]:92–93寫道:

篩法文獻一個引人好奇的特性是盡管人們常用布朗篩法,但僅有少數人嘗試為布朗『定理』(如定理2.1)給出一個一般公式;而這結果就是,有令人驚訝多的論文不斷地在許多細節上,重複布朗的論證。

賈盟(Diamond)與哈巴施潭英語Heini Halberstam[2]:42認為「基本引理」一詞源自約拿·古必柳英語Jonas Kubilius

共通符號

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此條目中,我們使用以下的符號:

  • 是一個有個正整數的集合,而則是由可被除盡的正整數組成的子集。
  • 的函數,這些函數可用以估計中可被除盡的元素的個數。而我們有以下的公式:
因此,表示能被除盡的元素的大緻密度;而則表示剩餘項或誤差。
  • 是一個質數的集合,而則是所有不大於的質數的乘積。
  • 中不為任何中不大於的質數除盡的元素的數量。
  • 是一個常數,又稱作篩選密度(sifting density)。[3]:28這篩選密度會出現在以下的假設中,表示被每個質數篩掉的同餘類數量的加權平均

組合篩法基本引理

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以下公式表示取自太能保母(Tenenbaum)。[4]:60,其他的公式表示則可見於哈巴施潭英語Heini Halberstam理希英語Hans-Egon Richert[1]:82、葛里維斯(Greaves)及[3]:92弗里蘭英語John Friedlander伊萬尼茲等人的著作。[5]:732–733

我們首先作出如下假設:

  • 是一個積性函數
  • 對於某個常數及任意滿足的實數而言,篩選密度滿足如次條件:

對於而言,我們有以下等式。此公式中的由使用者自行決定其數值:

在實際應用中,可對進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中,其數值取決於容斥原理的使用層級數。

塞爾伯格篩法基本引理

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以下公式表示取自哈巴施潭英語Heini Halberstam理希英語Hans-Egon Richert的結果[1]:208–209;另一個公式表示可見於賈盟(Diamond)與哈巴施潭英語Heini Halberstam的結果。[2]:29

我們首先作出如下假設:

  • 是一個積性函數
  • 對於某個常數及任意滿足的實數而言,篩選密度滿足如次條件:
  • 對於一些小且固定的及所有的而言,
  • 對於所有無平方因子、且質因數位於中的而言,

使用上述的假定,塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設,則有如次結論:

應當注意的是,在我們的處理中,不再是一個獨立參數,而是一個取決於的參數。

另外值得注意的是,此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項;而哈巴施潭英語Heini Halberstam理希英語Hans-Egon Richert對此寫道說:「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」

註解

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. 
  2. ^ 2.0 2.1 Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. 
  3. ^ 3.0 3.1 Greaves, George. Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41647-1. 
  4. ^ Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7. 
  5. ^ Friedlander, John; Henryk Iwaniec. On Bombieri's asymptotic sieve. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze. 4e série. 1978, 5 (4): 719–756 [2009-02-14]. (原始內容存檔於2023-05-08).