超越函數

數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程式的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為系數的多項式方程式。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自變量與常數之間有限次的加、減、乘、除和開方。

嚴格的說，關於變量 $z$ 的解析函數 $f(z)$ 是超越函數，如果該函數是關於變量 $z$ 是代數獨立的。

對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、餘割、正切、餘切等。

非超越函數稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中，對倒數函數 $y=1/x$ 不定積分得到的，以此方式得到的雙曲函數 $\sinh ,\cosh ,\tanh$ 等皆為超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

因次分析

在因次分析裏，超越函數是非常有用的，因為它們只在其引數無因次時才有意義。因此，超越函數可以是因次錯誤的顯著來源。例如， $\log {(10{\mbox{cm}})}$ 是個毫無意義的表示式。 $\log {(10{\mbox{cm}})}$ 不同於 $\log {(5{\mbox{cm}}/3{\mbox{cm}})}$ 和 $(\log {10}){\mbox{cm}}$ ，後兩者是有實際意義的。利用對數恆等式，將 $\log {(10{\mbox{cm}})}$ 展開為 $\log {10}+\log(1{\mbox{cm}})$ 能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生毫無意義的結果。