道路 (拓撲學)

R² 中從 A 到 B 一條道路的軌跡；但不同的道路可以有同樣的軌跡。

在數學中，拓撲空間 X 中一條道路（path）是從單位區間 I = [0,1] 到 X 的一個連續函數 f

f : I → X.

道路的起點是 f(0)，終點是 f(1)。通常說從 x 到 y 的一條道路，這裏 x 與 y 是道路的起點與終點。注意，一條道路不僅是 X 中看起來像一條曲線的子集，它也包含了參數化。例如，映射 f(x) = x 與 g(x) = x² 表示兩個實數軸上從 0 到 1 兩條不同的道路。

空間 X 中以 x∈ X 為基點的一條環路（loop）是從 x 到 x 的一條道路。一條環路可以視為連續映射 f : I → X，滿足 f(0) = f(1) 或從單位圓 S¹ 到 X 的連續映射

f : S¹ → X.

這是因為 S¹ 可以視為 I 把 0 ∼ 1 等價起來的商空間。所有 X 中的道路集合組成一個空間，稱為 X 的環路空間。

如果拓撲空間中任何兩點之間有一條道路連接，則稱之為道路連通。任何空間可以分成一些道路連通分支。空間 X 的道路連通分支集合通常記作 π₀(X)（與高維同倫群使用相同的記號，但第 0 個事實上不是群。）

我們也可以定義帶基點的空間中的道路與環路，這在同倫論中非常重要。如果 X 是以 x₀ 為基點的拓撲空間，則 X 中的道路以 x₀ 為起點；類似地，X 中環路以 x₀ 為基點。

道路同倫

主條目：同倫

兩條道路之間的同倫。

道路與環路是代數拓撲分支中同倫論的重要研究課題。道路的同倫就是保持端點不動的道路的連續形變的直觀想法的精確化。

明確地說，X 中道路的同倫是一族道路 f_t : I → X 使得

• f_t(0) = x₀ 與 f_t(1) = x₁ 不變。
• 由 F(s, t) = f_t(s) 定義的映射 F : I × I → X 是連續的。

由一個同倫連接的道路 f₀ 與 f₁ 稱為同倫的。可以類似地定義保持基點不動的環路的同倫。

同倫的性質定義了拓撲空間中道路的一個等價關係。道路 f 在這個等價關係下的等價類稱為 f 的同倫類，通常記作 [f]。

道路複合

可以將道路以明顯的方式複合起來。假設 f 是從 x 到 y 的一條道路，g 是從 y 到 z 的一條道路。道路 fg 定義為首先通過 f 然後通過 g：

$fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}},$

顯然道路複合只對 f 的終點與 g 的起點重合有定義。如果考慮所有以 x₀ 為基點的環路，則道路複合是一個二元運算。

道路複合，無論是對一般道路還是環路定義，都不是結合的，因為有不同的參數化。但是在同倫的層次上是結合的，即 [(fg)h] = [f(gh)]。道路複合定義了以 x₀ ∈ X 為基點的環路的同倫類上的一個群結構，所得的群稱為 X 在以 x₀ 為基點的基本群，通常記作 π₁(X,x₀)，這個群一般不可交換。

基本群胚

有一個有時很有用的範疇描述。任何拓撲空間 X 給出了一個範疇其對象是 X 中的點，態射是道路的同倫類。因為這個範疇中任意態射是同構態射，故這個範疇是一個群胚，稱為 X 的基本群胚。這個範疇中的環路是自同態（事實上所有都是自同構）。點 x₀ ∈ X 的自同構群恰好是以 x 為基點的基本群。基本群的重要定理塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理在基本群胚的框架下有簡明的描述與推廣。

參考資料

• 尤承業，《基礎拓撲學講義》，北京大學出版社，1997年。
• Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9.（2.7 節提供了基本群胚與 Seifert-Van Kampen 定理的範疇論表述。）