霍赫希爾德同調

數學中，霍赫希爾德同調（Hochschild homology）是環上結合代數的同調論。對某些函子也有一個霍赫希爾德同調。這是以德國數學家格哈德·霍赫希爾德（德語：Gerhard Hochschild）（Gerhard Hochschild）冠名的。

代數的霍赫希爾德同調之定義

設 k 是一個環，A 是一個結合 k-代數，M 是一個 A-雙模。我們記 A^⊗n 為 A 在 k 上的 n 重張量積。給出霍赫希爾德同調的鏈復形是

C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}

邊緣算子 d_i 定義為

d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}

d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}

d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}

這裏對所有 1 ≤ i ≤ n，a_i 屬於 A，而 m ∈ M。如果我們令

b=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},

則 b ° b = 0，所以 (C_n(A,M), b) 是一個鏈復形，叫做霍赫希爾德復形，它的同調是 A 係數取 M 的霍赫希爾德同調。

映射 d_i 是使模 C_n(A,M) 成為 k-模範疇中的單純對象的面映射（face map（英語：face map）），也就是一個函子 Δ^o → k-mod，這裏 Δ 是單純範疇（simplicial category（英語：simplicial category））而 k-mod 是 k-模範疇。這裏 Δ^o 是 Δ 的反範疇。退化映射（degeneracy map（英語：degeneracy map））由 s_i(a₀ ⊗ ··· ⊗ a_n) = a₀ ⊗ ··· a_i ⊗ 1 ⊗ a_i+1 ⊗ ··· ⊗ a_n 定義。霍赫希爾德同調是這個單純模的同調。

單純圓周 S¹ 是有限帶基點集合範疇 Fin_* 中一個單純對象，即一個函子 Δ^o → Fin_*。從而，如果 F 是一個函子 F: Fin → k-mod，通過將 F 與 S¹ 複合，我們得到一個單純模

\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}{\text{Fin}}_{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-}}\operatorname {mod} .

這個單純模的同調是函子 F 的霍赫希爾德同調。如上交換代數的霍赫希爾德同調是當 F 是 Loday 函子的特例。

有限帶基點集合範疇的一個骨架由對象

n_{+}=\{0,1,\dots ,n\}

給出，這裏 0 是基點，而態射是保持基點的態射。令 A 是一個交換 k-代數，M 是一個對稱 A-雙模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin_* 中的對象由

n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.\,

給出。態射

f:m_{+}\rightarrow n_{+}

送到態射 f_*

f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=(b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{m})

這裏

b_{j}=\prod _{f(i)=j}a_{i},\,\,j=0,\dots ,n,

而 b_j = 1 如果 f⁻¹(j) = ∅。

一個交換代數 A 的係數取一個對稱 A-雙模 M 的霍赫希爾德同調是與複合

\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}{\text{Fin}}_{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-}}\operatorname {mod}

相伴的同調，這個定義與上面的定義相同。

Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
Teimuraz Pirashvili, Hodge decomposition for higher order Hochschild homology （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）