三角平方数

三角平方数是既是三角形数，又是平方数的数。三角平方数有无限个，可以由以下公式求得：

$N_{k}={1 \over 32}\left[\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right]^{2}$

找寻三角平方数的问题可用以下方法简化成佩尔方程。每个平方数的形式为$m^{2}$，三角形数的则为${\frac {n(n-1)}{2}}$。于是求n, m使得：

${\frac {n(n-1)}{2}}=m^{2}$

$n(n-1)=2m^{2}$

$n^{2}-n+{\frac {1}{4}}=2m^{2}+{\frac {1}{4}}$

$4n^{2}-4n+1=8m^{2}+1$

$(2n-1)^{2}=8m^{2}+1$

设$k=2n-1$，$p=2m$，代入之，得方程$k^{2}=2p^{2}+1$。

第$k$个三角平方数$N$等于第$s$个平方数及第$t$个三角形数，它们的关系为

$s(N)={\sqrt {N}}$

$t(N)=\lfloor {\sqrt {2N}}\rfloor$

$t$可以由下面的方式得出：

$t(N_{k})={1 \over 4}\left\{\left[\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{k}\right]^{2}-\left[1+(-1)^{k}\right]^{2}\right\}$

$N$亦可用递归的方式求得：

$N_{0}=0$

$N_{1}=1$

$N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2$

当$k$越大，${\tfrac {t}{s}}$就会趋近${\sqrt {2}}$：

${\begin{matrix}N=1&s=1&t=1&{\frac {t}{s}}=1\\N=36&s=6&t=8&{\frac {t}{s}}=1.3333333\\N=1225&s=35&t=49&{\frac {t}{s}}=1.4\\N=41616&s=204&t=288&{\frac {t}{s}}=1.4117647\\N=1,413,721&s=1189&t=1681&{\frac {t}{s}}=1.4137931\\N=48,024,900&s=6930&t=9800&{\frac {t}{s}}=1.4141414\\N=1,631,432,881&s=40391&t=57121&{\frac {t}{s}}=1.4142011\end{matrix}}$

它们实际上是“为偶数的佩尔数”的一半再平方的值。

相关问题

大卫·盖尔曾提出一条问题：求对于哪些n，使得1,2,3,4...,n这个数列中，存在一个数s，在s之前的数之和跟在s之后的数之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是这样的一个数，1+2+3+4+5=7+8

解答： 根据题意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2 s² = n(n+1)/2

当第n个三角形数是平方数时，就符合题目的条件。（参考：Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)）

参考

• Triangular numbers that are also square（页面存档备份，存于互联网档案馆） From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.