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补码

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“补码”的各地常用名称
中国大陆补码、二的补码
台湾二补数
港澳二补码
符号
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1 = −1
1 1 1 1 1 1 1 0 = −2
1 0 0 0 0 0 0 1 = −127
1 0 0 0 0 0 0 0 = −128

补码(英语:2's complement)是一种用二进制表示有符号数的方法,也是一种将数字的正负号变号的方式,常在电脑科学中使用。补码以有符号位元的二进制数定义。

正数和0的补码就是该数字本身再补上最高位元0。负数的补码则是将其绝对值按位取反再加1。

补码系统的最大优点是可以在加法减法处理中,不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法,而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示,因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法,在电路设计上相当方便。

另外,补码系统的0就只有一个表示方式,这和反码系统不同(在反码系统中,0有二种表示方式),因此在判断数字是否为0时,只要比较一次即可。

右侧的表是一些8-bit补码系统的整数。它的可表示的范围包括-128到127,总共256(=28)个整数。

数字表示方式

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说明

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补码 十进制
0111 7
0110 6
... ...
0010 2
0001 1
0000 0
1111 −1
1110 −2
... ...
1001 −7
1000 −8

以下用4位的补码数字来说明补码系统的数字表示方式。

  • 在表示正数和零时,补码数字和一般二进制一样,唯一的不同是在补码系统中,正数的最高位元恒为0,因此4位的补码正数,最大数字为0111 (7)。
  • 补码数字的负数,最高位元恒为1,4位补码的数字中,最接近0的负数为1111 (-1),以此类推,因此绝对值最大的负数是1000 (-8)。

以上的表示方式在电脑处理时格外方便,用以下的例子说明:

    0011 (3)
  + 1111 (-1)
--------------
   10010 (2)

结果10010似乎是错的,因为已经超过四个位元,不过若忽略掉(从右开始数)第5个位元,结果是0010 (2),和我们计算的结果一样。而且若可以将二进制的1111 (-1)变号为0001 (1),以上的式子也可以计算减法:3-1 = 2。

在n位元的补码加减法中,忽略第n+1个位元的作法在各种有号数加法下都适用(不过在判断是否溢出(overflow)时,仍然会用到第n+1个位元)。因此在补码的系统,加法电路就可以处理有负数的加法,不需另外处理减法的电路。而且,只要有电路负责数字的变号(例如将1变换为 -1),也可以用加法电路来处理减法。而数字的变号就用计算数字的补码来完成。

在一般n位元的二进制数字中,最高有效位元(MSB)第 n位元代表的数字为 2n−1。不过,在n位元的补码系统中,最高有效位元(MSB)第 n位元表示符号位元,若符号位元为0,数字为正数或0,若符号位元为1,数字为负数。以下是n位元的补码系统中,几个特别的数字:

补码 实际数字 附注
0 111....111 2n−1-1 当前有符号位区分的最大正数
... ...
0 000....001 1
0 000....000 0
1 111....111 -1
... ...
1 000....001 - 2n−1+1 当n<当前所在补码系统内所含的最大位元数量(最大位元数量是4的整数倍,且整数倍数大于等于1),得出根据当前n的值从而解得有符号位区分的负整数(同时根据n的值也确定了最大位元数量的值)。
1 000....000 - 2n−1 当n=当前所在补码系统内所含的最大位元数量(最大位元数量是4的整数倍,且整数倍数大于等于1),得出根据当前n的值从而解得有符号位区分的最小负数(同时根据n的值也确定了最大位元数量的值)。

因此,在8位的补码系统中,可以表示的最大正数为28−1-1 = 127,可以表示最小的负数为 -28−1 = -128 

计算补码

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在计算二进制数字的补码时,会将数字进行位元反相运算,再将结果加1,不考虑溢出位元(一般情形,溢出位元会为0),就可以得到该数字的补码。

以下考虑用有符号位8位二进制表示的数字5:

0000 0101 (5)

其最高位元为0,因为此数字为正数。若要用补码系统表示 -5,首先要将5的二进制进行反相运算〔1变为0,0变为1 〕:

1111 1010

目前的数字是数字5的反码,因此需要再加1,才是补码:

1111 1011 (-5)

以上就是在补码系统中 -5的表示方式。其最高位元为1,因为此数字确实为负数。

一个负数的补码就是其对应的正数。以 -5为例,先求数字的反码:

0000 0100

再加一就是 -5的补码,也就是5。

0000 0101 (5)

简单来说,数字a(正负数皆可)的补码即为 -a。

若要计算n位数补码二进制对应的十进制,需要知道每位数对应的数字,除了最高位元外,其他位元的对应数字均和一般二进制相同,即第i位数表示数字2i−1。但最高位元若为1时,其表示数字为 -2n−1,因此若用此方式计算0000 0101表示的数字,其结果为:

1111 1011 (−5) = −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (−27 + 26 + ...) = −5

特别的数字

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有两个数字的补码等于本身:一个是0,另一个为该位元内可表示有符号位区分的二进制形式的最大负数(即1000...)。

0的补码计算方式(以8位为例)如下:先计算它的反码:

1111 1111

再将反码加一:

0000 0000,溢出位元二进制值 = 1(二进制)

忽略溢出,其结果为0(0是唯一计算补码过程中会出现溢出的数字。)。因此0的补码为0。而0 x (-1) = 0,因此其补码仍满足“数字a的补码为 -a”的原则。

若计算1000 0000(这是8位内可表示有符号位区分的二进制形式的最大负数-128)的补码:先计算它的反码:

0111 1111

再加一就是它的补码。

1000 0000

1000 0000 (-128)的补码仍为1000 0000 (-128)。但(-128) x (-1) = 128,因此其补码是以上规则的例外。

总结:由于0可以等于0的补码-0,以及同样因为8位的补码可显示的值范围为 -128 ~ 127,但-128的补码128无法用在已有位元数量为8的位元数量内的可用补码表示。【在计算其他位数内的可表示有符号位区分的二进制形式的最大负数(即1000...000)时,也会有类似情形。】

所以0-128的确是“数字a的补码为 -a”原则中两个特别的数字

其他计算方法

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方法一

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另一种计算的补码 的公式如下:[1]

其中是整数的长度。

以八位元的“-123”(-11110112)求其补码为例:

-123的补码计算方式如下:

验证[来源请求]

方法二

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以另一种较简单的方式,可以找出二进制数字的补码:

  • 先由最低位元开始找。
  • 若该位元为0,将补码对应位元填0,继续找下一位元(较高的位元)。
  • 若找到第一个为1的位元,将补码对应位元填1。
  • 将其余未转换的位元进行位元反相,将结果填入对应的补码。

以0011 1100为例(图中的^表示目前转换的数字,-表示还不确定的位数):

  原数字       补码
0011 1100  ---- ---0(此位元为0) 
        ^

0011 1100  ---- --00(此位元为0) 
       ^

0011 1100  ---- -100(找到第1个为1的位元) 
      ^

0011 1100  1100 0100(其余位元直接反相) 
^

因此其结果为1100 0100

符号延展

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十进制 4位补码 8位补码
5 0101 0000 0101
-3 1101 1111 1101

将一个特定位元补码系统的数字要以较多位元表示时(例如,将一个字节的变量复制到另一个二个字节),所有增加的高位元都要填入原数字的符号位元。在一些微处理机中,有指令可以执行上述的动作。若是没有,需要自行在程序中处理。==>

在补码系统中,当数字要向右位移几个位元时,在位移后需将符号位元再填入原位置(算术移位),保持符号位元不变。以下是二个例子:

    數字      0010 1010             1010 1010
向右位移一次  0001 0101             1101 0101
向右位移二次  0000 1010             1110 1010

而当一个数字要向左位移n个位元时,最低位元填n个0,权值最高的n个位被抛弃。以下是二个例子:

    數字      0010 1010             1010 1010
向左位移一次  0101 0100             0101 0100
向左位移二次  1010 1000             1010 1000

向右位移一次相当于除以2,利用算术移位的方式可以确保位移后的数字正负号和原数字相同,因为一数字除以2后,不会改变其正负号。 注意:向左位移一次相当于乘以2,虽然乘以在理论上并不会改变一个数的符号,但是在补码系统中,用以表示数的二进制码长度有限,能够表示的数的范围也是有限的:若一个数的高权值上的数码已经被占用,此时再将这个数左移若干位(乘以2n)的话,有可能造成数码溢出(overflow),高权值上的数将会失去,对于绝对值很大数,这将造成整体表达的错误。

补码的工作原理

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为什么补码能这么巧妙实现了正负数的加减运算?答案是:指定n位元字长,那么就只有2n个可能的值,加减法运算都存在上溢出与下溢出的情况,实际上都等价于2n的加减法运算。这对于n位元无符号整数类型或是n位元有符号整数类型都同样适用。

例如,8位无符号整数的值的范围是0到255.因此4+254将上溢出,结果是2,即

例如,8位有符号整数的值的范围,如果规定为−128到127,则126+125将上溢出,结果是−5,即

对于8位字长的有符号整数类型,以28即256为模,则

所以模256下的加减法,用0, 1, 2,…, 254,255表示其值,或者用−128, −127,…, −1, 0, 1, 2,…,127是完全等价的。−128与128,−127与129,…,−2与254,−1与255可以互换而加减法的结果不变。从而,把8位(octet)的高半部分(即二进制的1000 0000到1111 1111)解释为−128到−1,同样也实现了模256的加减法,而且所需要的CPU加法运算器的电路实现与8位无符号整数并无不同。

实际上对于8位元的存储单元,把它的取值[00000000,…, 11111111]解释为[0, 255],或者[-1, 254],或者[-2, 253],或者[-128, 127],或者[-200, 55],甚至或者[500, 755],对于加法硬件实现并无不同。

运算

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加法

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补码系统数字的加法和一般加法相同,而且在运算完成后就可以看出结果的正负号,不需特别的处理。

正数与负数相加不会出现上溢错误,因为它们的和一定会小于加数。上溢错误只有在两个正数或两个负数相加时才可能发生,这时候最高有效位(正负号)会变成相反。

以15加-5为例:

 11111 111(进位)
  0000 1111 (15)
+ 1111 1011 (-5)
-----------------
  0000 1010 (10)

由于加数和被加数都是8位,因此运算结果也限制在8位内。第8位相加后产生的进位不考虑(因为不存在第9位元)的1被忽略,所以其结果为10。而15 + (-5) = 10,计算结果正确。

在以上计算式中,可以由进位列的最左侧二个位元得知结果是否出现溢出。溢出就是数字的绝对值太大,以致于无法在指定的二进制位元个数来表示(在此例中,是超过8位的范围)。若进位列的最左侧二个位元同为0或同为1,表示结果正确,若是一个为0,另一个为1,表示出现溢出错误。也可以对此二个位元进行异或运算,结果为1时,表示出现溢出错误。以下以7 + 3的4位加法说明溢出错误的情形。

 0111(进位)
  0111 (7)
+ 0011 (3)
------------
  1010 (−6)  结果不正确!

在此例中,进位列的最左侧二个位元为01,因此出现溢出错误。溢出的原因是7 + 3的结果(10)超过补码系统4位所可以表示的数字范围 -8~7。

故为防止溢出错误,补码在进行加法运算时通常将符号位进行复制后追加到最高位之前,即设补码B的位数为WIDTH,则B′={B[WIDTH-1],B}。应注意此处B′的位数为WIDTH+1。 如上两例用此方法进行计算:

  11 1111 111(进位)
   0 0000 1111 (15)
  +1 1111 1011 (-5)
-------------------
(1)0 0000 1010 (10)

由于WIDTH+1=8+1=9,故而第十位的1同样由于溢出而被省略,结果仍为10。两负数(符号位为1)相加时同理。

    111(进位)
  0 0111 (7)
+ 0 0011 (3)
--------------
  0 1010 (10)  结果正确!

由于WIDTH+1=4+1=5,故第五位的0仍为符号位,得结果正数10(十进制)。

减法

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减法通常转化为加法进行运算,将减数与被减数的补码进行加法运算,即可得出差。

乘法

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乘法在电脑的世界里其实就是不断的做加法。

例如:3*5=3+3+3+3+3=15

除法

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除法就是相减。

例如:10/3=10-3-3-3=1mod3 而减法又可做补码相加,所以所有四则运算的基础都是由加法而来。

相关条目

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参考资料

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  1. ^ M Morris Mano; Michael D Ciletti. Digital design : with an introduction to the verilog hdl. 培生教育. 2013: 第27页. ISBN 9780273764526.