区间套

在数学中，一串区间套是实数中的一串区间 $I n$ （n=1, 2, 3, ...），使得对于每个n都有 $I n + 1$ 是 $I n$ 的子集，有时我们要求它是真子集。换而言之，在这串区间中，区间从左边逐渐往右收缩，而在右边逐渐往左收缩。

关于区间套的主要问题在于探讨所有区间 $I n$ 的交集（记作J）的性状。

事实上，当 $I n$ 都是开集时，J有可能为空集。例如开区间套 $(0, 2 - n)$ 的交集就是空集：任何一个正数x都在n充分大之后大于2⁻ⁿ，故而x不在J中。

但对于闭集而言，情况有所不同。事实上，我们有闭区间套定理，这一定理刻划了实数的完备性。定理声称对于任一的有界闭区间套 $I n$ （例如 $I n = [a n, b n]$ 并满足 $a n \leq b n$ ），它们的交集 $I n$ 非空，且为闭区间 $[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$ ；特别地，假若 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$ ，则它们的交集J为一个包含且仅包含 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ 的单点集。

参考文献

Fridy, J. A., 3.3 The Nested Intervals Theorem, Introductory Analysis: The Theory of Calculus, Academic Press: 29, 2000 [2020-02-24], ISBN 9780122676550, （原始内容存档于2019-07-11） .
Shilov, Georgi E., 1.8 The Principle of Nested Intervals, Elementary Real and Complex Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications: 21–22, 2012 [2020-02-24], ISBN 9780486135007, （原始内容存档于2019-07-11） .
Sohrab, Houshang H., Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem), Basic Real Analysis, Springer: 45, 2003 [2020-02-24], ISBN 9780817642112, （原始内容存档于2019-07-11） .