升链条件

在数学中，升链条件（Ascending Chain Condition）和降链条件（Descending Chain Condition）是一些代数结构具有的性质，例如交换环中的理想。

定义

偏序集$P$满足升链条件，如果在$P$中不存在严格升序列

$a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots$

其中的$a_{i}$都是$P$中的元素。等价地，$P$中任意不严格升序列

$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots$

最终都是稳定的，即存在一个正整数$n$使得

$a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .$

类似地，$P$满足降链条件如果在$P$中不存在严格降序列或者每个不严格降序列最终都是稳定的。

性质

• 利用选择公理，偏序集$P$满足降链条件等价于$P$满足良基关系：$P$的每个非空子集都有一个极小元。满足良基关系的偏序集称为良序集。
• 类似地，偏序集$P$满足升链条件等价于$P$的每个非空子集都有一个极大元。

例子

正整数环$\mathbb {Z}$中的理想满足升链条件，其中理想是通过包含关系进行排序，于是$\mathbb {Z}$是一个诺特环。