单位圆

在数学中，单位圆（英语：Unit circle）是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为 $(0,0)$ 、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S¹。多维空间中，单位圆可推广为单位球。

如果单位圆上的点 $(x,y)$ 位于第一象限，那么 $x$ 与 $y$ 是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据勾股定理， $x$ 与 $y$ 满足方程：

x^{2}+y^{2}=1\,\!

由于对于所有的 $x$ 来说 $x^{2}=(-x)^{2}$ ，并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆与三角函数

事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相关函数、外正割（exsec）、外余割（excsc）和历史上曾存在的弦函数（crd）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于 ${\frac {\pi }{2}}$ 时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

设 $(x,y)$ 是单位圆上的一个点。设角 $t$ 的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

\cos(t)=x\,\!

\sin(t)=y\,\!

另外，从 $x^{2}+y^{2}=1$ 可以得到

\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数 $k$ 有恒等式

\cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!

\sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!

这些恒等式的依据是在角度 $t$ 增加任意圈数或者减小任意圈数的时候x与y坐标保持不变。一圈 $=2\pi$ 弧度。

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示， $a+bi$ 表示为 $(a,b)$ 。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。