德布罗意方程组
外观
德布罗意方程组是描述物质波的方程组,其描述了波长 与动量 、频率 与总能 之间的关系。
路易·德布罗意受光的波粒二象性启发,认为微观粒子也有波粒二象性。描述波的物理量为频率、波长;而描述粒子的物理量为能量、动量,德布罗意方程便将这两组物理量联系在一起。
德布罗意方程组 (The de Broglie Relations)
[编辑]德布罗意方程组:
其中
为约化普朗克常数
为波数
为角频率
于是可以得到另一种表示方式:
方程推导
[编辑]本段落描述的推导是诸多合法的推导的其中一种,它以质能方程和普朗克关系式为基础,进行替换和变形得到结果。
首先,引入爱因斯坦的质能方程:
然后,引入普朗克关系式:
德布罗意认为粒子与波具有相同的特性(即在物质世界的量化描述中二者可以被视作是同一的),所以他假设二者的效能是等同的:
由于实际粒子并非以真空光速游动,所以德布罗意用 v 代替 c (光速),得到
代入 ,得到:
这便是为波长与粒子速度的关系式。
于是有:
因此得出:
低速近似
[编辑]上述推导是普适的(理论上的),然而在微观低速的情况下,人们难以直接得到微粒的动量,因此也难得微粒的德布罗意波长λ。
幸运的是,我们可知在低速条件下有E=p2/2m,
所以此时德布罗意波长可以由动能和微粒质量表示出
λ==