极大与极小元

提示：此条目的主题不是最大与最小元。

60的因数集$P$，以整除关系为偏序，所成的哈斯图。红色子集$S=\{1,2,3,4\}$有两个极大元$3$、$4$和一个极小元$1$。$1$同时也是最小元。

数学分支序理论中，预序集子集$S$的极大元（英语：maximal elements）不小于$S$的任何元素。极小元（minimal elements）可对偶地定义，其不大于$S$的任何元素。

极大和极小的条件比最大和最小弱。预序集的子集$S$的最大元需要“大于或等于”$S$的全体元素（最小元同样为其对偶），极大元则只需“不小于”（例如不可比较）。若将预序集限缩至偏序集，则至多只有一个最大元和一个最小元，但极大、极小元皆可有多于一个。但在全序集上，最大等价于极大，最小亦等价于极小。

以集族

$S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\}$

为例，其上的偏序为包含关系。当中$\{1,2\}$极小，因为不包含族中任何其他集合，反之$\{1,2,3,4\}$极大，因为不被其他集合包含。$\{1,2,3\}$则既非极小亦非极大，但$\{2,3,5\}$同时为极小、极大。相比之下，$S$无最大元和最小元。

定义

设$(P,\leq )$为预序集，又设$S\subseteq P$，则$S$中关于$\,\leq \,$的极大元定义为满足以下性质的元素$m\in S$：

若有$s\in S$使$m\leq s,$ 则必有$s\leq m.$

与之类似，$S$中关于$\,\leq \,$的极小元是满足以下性质的元素$m\in S$：

若有$s\in S$使$s\leq m,$ 则必有$m\leq s.$

等价地，亦可将$S$关于$\,\leq \,$的极小元定义为$S$关于$\,\geq \,$的极大元，其中对任意$p,q\in P$，$q\geq p$当且仅当$p\leq q$。

若无明示子集$S$，则所谓极大元预设是$P$的极大元。

若预序集$(P,\leq )$实为偏序集，或者限缩到$(S,\leq )$是偏序集，则$m\in S$为极大当且仅当$S$无严格较$m$大的元素。换言之，不存在$s\in S$使$m\leq s$及$m\neq s.$ 将本段的$\,\leq \,$号一律换成$\,\geq \,$就得到极小元的描述。

存在性

极大/极小元不必存在。

• 例一：考虑实数系$\mathbb {R}$的区间$S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R}$。对任意元素$m\in S$，$s=m+1$仍在$S$中，但$m<s$，因此没有元素$m$为极大。
• 例二：考虑有理数系$\mathbb {Q}$的子集$S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\}$，因为根号2是无理数，对任何有理数$m\leq {\sqrt {2}}$皆可找到另一有理数$s$使$m<s<{\sqrt {2}}$。

但在某些情况下，极大/极小元保证存在。

• 若$S$为有限非空子集，则必有极大元和极小元。（对无穷子集无此结论，如整数系$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R}$就没有极大元。）
• 佐恩引理断言：“若偏序集$P$中，每个全序子集$S$皆有上界，则$P$至少有一个极大元。”此引理等价于良序定理和选择公理，在数学的多个分支有重要推论，例如可证任何向量空间皆有基（极大的代数无关子集），或是任何域皆有代数闭包（代数扩张偏序下的极大元）。

唯一性

极大/极小元不必唯一。

各领域例子

• 帕累托效率中，“帕累托最优”的状态即是帕累托改善偏序下的极大元，此类极大元的集合又称为“帕累托前缘”（Pareto frontier）。
• 决策论中，可容决策规则是优势偏序下的极大元。
• 现代投资组合理论中，风险（以低为优）与回报（以高为优）的积序下，极大元称为效率投资组合（efficient portfolio），组成的集合则为效率前缘。
• 集合论中，某集合为有限当且仅当其任意非空子集族（以包含关系为偏序）皆有极小元。
• 抽象代数中，需要将最大公因数的概念推广为极大公因子，因为某些数系中，若干个元素的公因子集合可能有多于一个极大元（整除意义下）。
• 计算几何中，点集的极大元是逐分量比较下的极大元。