角度条件

角度条件（angle condition）是自动控制的根轨迹图中，有关角度的限制条件，根轨迹图中的点和闭回路极点、零点组成向量的角度会满足角度条件。角度条件和量值条件可以完全确定根轨迹图。

令系统的特征方程为 $1+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0$ ，而 ${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}$ ，可改写为以下各因式相乘的形式

{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},

则角度条件是指

\angle ({\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s))=\pi +2k\pi

其中 $k$ 为整数。

也就是说

\sum _{i=1}^{m}\angle (s-b_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s-a_{i})=\pi +2k\pi

开回路零点到 $s$ 点角度的和，减去开回路极点到 $s$ 点角度的和，除 $2\pi$ 后的余数需等于 $\pi$ 。

推导

假设。若将控制方程改为极坐标表示

e^{j2\pi }+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0

{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=-1=e^{j(\pi +2k\pi )}

其中 $k=0,1,2,\ldots$ 为方程式中的解。将 ${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)$ 改写为各因式相乘的形式

{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},

再将因式 $(s-a_{p})$ 及 $(s-b_{q})$ 用向量的形式 $A_{p}e^{j\theta _{p}}$ 及 $B_{q}e^{j\varphi _{q}}$ 表示，因此可以改写 ${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)$ 如下。

{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}

简化特征方程式，

{\begin{aligned}e^{j(\pi +2k\pi )}&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}\\[6pt]&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}}}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m}))},\end{aligned}}

因此可以得到角度条件：

\pi +2k\pi =\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})

其中 $k=0,1,2,\ldots$ ,

\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}

为极点1至n的角度，而

\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{m}

为零点1至m的角度。

也可以用类似的方式推导量值条件。