代数几何与解析几何

在数学中，代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇，在复数域上，同时也能以复分析及微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中，则以概形论的语言重新表述。

性质的比较

给定一个 $\mathbb {C}$ 上的局部有限型概形 $X$ ，可以考虑相应的复解析空间 $X^{\mathrm {an} }$ 。此对应 $X\mapsto X^{\mathrm {an} }$ 定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一 ${\mathcal {O}}_{X}$ -模 $F$ ，同样可考虑相应的 ${\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}$ -模 $F^{\mathrm {an} }$ ，这也给出相应的函子。可以证明 $F\mapsto F^{\mathrm {an} }$ 是一个正合、忠实且保守的函子。

论证中用到的关键性质是： ${\mathcal {O}}_{X}$ 是平坦的 ${\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}$ -模。

拓扑性质比较

设 $T\subset X$ 为一局部可构子集（即：局部闭集的有限并集），以下 $T$ 的性质在 $X$ 中成立，当且仅当在 $X^{\mathrm {an} }$ 中成立：

开子集
闭子集
稠密子集

当 $X$ 为有限型态射时，对于 $X$ 及 $X^{\mathrm {an} }$ 本身，下述性质也是相通的：

连通
不可约

概形性质比较

以下性质对 $X$ 成立，当且仅当对 $X^{\mathrm {an} }$ 成立：

非空
离散
科恩-麦考利概形
$S_{n}$
$R_{n}$
正规
既约
维度等于 $n$

态射性质比较

设 $f:X\to Y$ 为概形的态射， $f^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }$ 为复解析空间的相应态射，则下述性质对 $f$ 成立当且仅当对 $f^{\mathrm {an} }$ 成立：

平坦
非分歧
平展
平滑
正规
既约
分离
单射（拓扑意义）
同构
单射（范畴论意义）
开浸入

若再要求 $f$ 是有限型态射，则可再加入下述性质：

满射（拓扑意义）
优势态射
闭浸入
浸入
真态射
有限态射

上同调比较

以下假设 $f:X\to Y$ 是真态射，对任一个凝聚 ${\mathcal {O}}_{X}$ -模 $F$ ，有自然同构：

(R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })

当 $Y=\mathrm {Spec} \,\mathbb {C}$ 时，遂有层上同调的比较定理：

H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })

此时 $F\mapsto F^{\mathrm {an} }$ 给出范畴的等价。

黎曼存在性定理

黎曼存在性定理则断言：若 $X$ 是 $\mathbb {C}$ -上的局部有限型概形，且 ${\mathcal {X}}'\to X^{\mathrm {an} }$ 是复解析空间的有限平展覆盖，则存在 $\mathbb {C}$ -概形 $X'$ 及平展态射 $X'\to X$ ，使得 $X'^{\mathrm {an} }\sim {\mathcal {X}}'$ 。此外，函子 $X'\mapsto X'^{\mathrm {an} }$ 给出从【 $X$ 的有限平展覆盖】到【 $X^{\mathrm {an} }$ 的有限平展覆盖】的范畴等价。

当 $X$ 为连通时，此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理：

{\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})

其中 $x_{0}\in X(\mathbb {C} )$ ，而 ${\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}$ 表示代数基本群 $\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})$ 对有限指数子群的完备化。

文献

J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."（页面存档备份，存于互联网档案馆） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.