尖点

尖点（英语：Cusp）是曲线中的一种奇点。曲线上的动点在移到尖点时会开始反向移动，右图是一个典型的例子。给定一个以解析参数式定义的平面曲线：

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}

尖点即为函数 $f$ 及 $g$ 之导数为零之点，同时方向导数在切线方向会变号（切线方向之斜率为 $\lim(g'(t)/f'(t))$ ）。尖点是局部的奇点，只牵涉到参数 $t$ 的一个值，不像自交点牵涉到 $t$ 的许多值。在某些时候，方向导数变号的条件会省去，此时奇点有可能看起来像一般的点。

以一个光滑隐函数定义的曲线来说，

F(x,y)=0,

将 $F$ 以泰勒级数展开，当其最低阶项可表为一次多项式的次方时，即为尖点所在处。但是并非所有拥有此性质的奇点都是尖点，由皮瑟级数（英语：Puiseux series）相关定理可知，若 $F$ 是解析函数，则在座标线性变换后，在尖点附近可将曲线参数化成以下形式：

{\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}

其中 $a$ 是实数， $m$ 是正偶数， $S (t)$ 是 $k$ 阶的幂级数且 $k > m$ 。 $m$ 也是 $F$ 最低阶项中非零部分的阶数。这些定义已被勒内·托姆及弗拉基米尔·阿诺尔德推广至以可微函数定义的曲线，若某点邻域存在微分同胚，将曲线映至以上定义的尖点，则该曲线有尖点。在某些时候，以及以下文章，尖点被限定为二阶尖点，也就是说 ${{{1}}}$ 。一个平面曲线的二阶尖点可被微分同胚表为 $x 2 - y 2 k +1 = 0$ ，其中 $k$ 是正整数。

相关条目