最佳投影方程

最佳投影方程（optimal projection equations）是控制理论中，建构局部最佳降阶LQG控制器的充分必要条件。

LQG控制（线性二次高斯控制）问题是最优控制领域中最基础的问题之一，这问题包括了存在不确定性的线性系统，受到加性高斯白噪声的影响，没有完整的状态资讯（无法量测到所有的状态变数，也无法透过回授得知），对应二次的成本泛函。不过存在唯一解，而且可以建构线性动态回授的控制律，易于计算以及实现。而LQG控制器也是非线性系统中最佳扰动控制的基础。

LQG控制器的架构会类似要控制的系统，两者会有相同的维度。因此若系统本身就是高维度，要实现（全阶）LQG控制器会很困难。降阶LQG问题（固定阶LQG问题）事先固定LQG控制器的阶数，因此克服了这个困难。不过在全阶LQG控制器中适用的分离原理，在降阶LQG问题中已无法适用，因此这方面会更困难，而且其解也不唯一。不过可以找到数值分析的算法来求解对应的最佳投影方程。

问题的数学表示以及其解

连续时间

降阶的LQG控制问题几乎和全阶的LQG控制问题相同。令${\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)$表示降阶LQG控制器的状态，唯一的差异是LQG控制器的状态维度$n_{r}=dim({\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t))$是事先定义好的值，比受控系统的状态维度$n=dim({\mathbf {x} }(t))$要少。

降阶LQG控制器可以表示为下式：

${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=A_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+B_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),$

${\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t).$

上述公式刻意写的类似传统全阶LQG控制器的形式，降阶的LQG控制问题也可以改写为下式：

${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=F_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+K_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),$

${\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t),$

其中

$F_{r}(t)=A_{r}(t)-B_{r}(t)L_{r}(t)-K_{r}(t)C_{r}(t).$

降阶LQG控制器的矩阵$F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)$和${\mathbf {x} }_{r}(0)$是由所谓的最佳投影方程（optimal projection equations、OPE）来决定。

$n$维的最佳投影方阵$\tau (t)$是OPE的核心。此矩阵的秩在所有状态下几乎都等于$n_{r}$。相关投影为斜投影（oblique projection）：$\tau ^{2}(t)=\tau (t)$。最佳投影方程包括四个矩阵微分方程。前二个是LQG控制器对应的矩阵Riccati微分方程的扩展。在方程式中$\tau _{\perp }(t)$表示$I_{n}-\tau (t)$，而$I_{n}$为$n$维的单位矩阵

${\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}$

$S(T)=F.$

若LQG的维度没有减少，也就是$n=n_{r}$，则$\tau (t)=I_{n},\tau _{\perp }(t)=0$，上述二个方程就是二个没有耦合的矩阵Riccati微分方程，对应全阶的LQG控制器。若$n_{r}<n$，则两个方程会有斜投影项$\tau (t).$。这也是为何降阶的LQG控制器无法分离的原因，斜投影$\tau (t)$是由另外二个矩阵微分方程所决定，其中也和秩的条件（rank conditions）有关。这四个矩阵微分方程组成了最佳投影方程。为了要列出另外二个矩阵微分方程，先定义以下二个矩阵：

$\Psi _{1}(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)){\hat {P}}(t)+{\hat {P}}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'$

${}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),$

$\Psi _{2}(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))'{\hat {S}}(t)+{\hat {S}}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))$

${}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).$

则最后二个矩阵微分方程如下：

${\dot {\hat {P}}}(t)=1/2\left(\tau (t)\Psi _{1}(t)+\Psi _{1}(t)\tau '(t)\right),{\hat {P}}(0)=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}(t))=n_{r}$ almost everywhere,

$-{\dot {\hat {S}}}(t)=1/2\left(\tau '(t)\Psi _{2}(t)+\Psi _{2}(t)\tau (t)\right),{\hat {S}}(T)=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}(t))=n_{r}$ almost everywhere,

其中

$\tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{*}.$

此处的 * 表示群广义逆矩阵（group generalized inverse）或Drazin逆矩阵，是唯一的，定义如下

$A^{*}=A(A^{3})^{+}A.$

其中 + 是摩尔－彭若斯广义逆.

矩阵$P(t),S(t),{\hat {P}}(t),{\hat {S}}(t)$都需要是非负对称矩阵。可以建构最佳投影方程的解，而此解可以决定降阶LQG控制器矩阵$F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)$和${\mathbf {x} }_{r}(0)$：

$F_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),$

$K_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),$

$L_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),$

${\mathbf {x} }_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).$

上式中的矩阵$G(t),H(t)$是符合以下性质的矩阵：

$G'(t)H(t)=\tau (t),G(t)H'(t)=I_{n_{r}}$几乎在所有状态下。

可以由${\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)$的投影分解中得到：

若降阶LQG问题中的所有矩阵都是非时变的，且最终时间（horizon）$T$趋近无限大，则最佳降阶LQG控制器和最佳投影方程也都会是非时变的。此情形下，最佳投影方程左侧的微分项会为零。

离散时间

离散时间的情形类似连续时间的例子，要处理的是将$n$阶传统离散时间全阶LQG问题转换为事先已知固定阶数的$n_{r}<n$阶降阶LQG控制器。为了要表示离散时间的OPE，先引入以下二个矩阵：

$\Psi _{i}^{1}=\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right){\hat {P}}_{i}\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right)'$

${}+A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}P_{i}A'_{i}$

$\Psi _{i+1}^{2}=\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)'{\hat {S}}_{i+1}\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)$

${}+A'_{i}S_{i+1}B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i}$

则离散时间OPE为

$P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A'_{i}+V_{i}+\tau _{\perp i+1}\Psi _{i}^{1}\tau '_{\perp i+1},P_{0}=E\left({\mathbf {x} }_{0}{\mathbf {x'} }_{0}\right)$.

$S_{i}=A'_{i}\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i}+\tau '_{\perp i}\Psi _{i+1}^{2}\tau _{\perp i},S_{N}=F$.

${\hat {P}}_{i+1}=1/2(\tau _{i+1}\Psi _{i}^{1}+\Psi _{i}^{1}\tau '_{i+1}),{\hat {P}}_{0}=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}_{i})=n_{r}$ almost everywhere,

${\hat {S}}_{i}=1/2(\tau '_{i}\Psi _{i+1}^{2}+\Psi _{i+1}^{2}\tau _{i}),{\hat {S}}_{N}=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}_{i})=n_{r}$ almost everywhere.

斜投影（oblique projection）矩阵为

$\tau _{i}={\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\left({\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\right)^{*}.$

非负对称矩阵$P_{i},S_{i},{\hat {P}}_{i},{\hat {S}}_{i}$是离散时间OPE的解，也决定了降阶LQG控制器的矩阵$F_{i}^{r},K_{i}^{r},L_{i}^{r}$ and ${\mathbf {x} }_{0}^{r}$：

$F_{i}^{r}=H_{i+1}\left(A_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}-B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)G'_{i},$

$K_{i}^{r}=H_{i+1}P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1},$

$L_{i}^{r}=\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}G'_{i},$

${\mathbf {x} }_{0}^{r}=H_{0}E({\mathbf {x} }_{0}).$

在上述的方程中，矩阵$G_{i},H_{i}$是有以下性质的矩阵：

$G'_{i}H_{i}=\tau _{i},G_{i}H'_{i}=I_{n_{r}}$几乎在所有状态下。

这些矩阵可以从${\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}$的投影因式分解中求得。

如同在连续时间中的例子一样，若问题中所有的矩阵都是非时变，且且最终时间（horizon）$T$趋近无限大，降阶LQG控制器就会是非时变的。因此离散时间OPE会收敛到稳态解，决定非时变的降阶LOG控制器。

离散时间OPE也可以应用在状态维度，输入维度或是输出维度可变的离散时间系统（具有时变维度的离散时间系统）。若在数位控制器中的取样是不同步的，就可能会出现这类的系统。