有限域

在数学中，有限域（英语：finite field）或伽罗瓦域（英语：Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模。

有限域的元素个数称为它的阶。

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽罗瓦理论、有限几何学、密码学和编码理论。

定理

• 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
• 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的$p^{n}$阶的有限域，并且所有元素都是方程 $x^{p^{n}}-x=0$ 的根，该域的特征为p。
• 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限域，则存在$\alpha \in F$使得$F^{*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle$。
• 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
• 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

存在性与唯一性

设 q = pⁿ 为素数幂， F 为多项式

$P=X^{q}-X$

于素数域 GF(p) 上的分裂域。换言之， F 是最低阶的有限域，使得 P 在 F 内有 q 个互异的根（注意 P 的形式导数为 $-1\neq 0$ ，因此 P 无重根）。

利用二项式定理，可证恒等式

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

在特征为 p 的域上成立（中一新生之梦）。此恒等式说明 P 任两根之和或积仍为 P 的根。同时， P 的根的乘法逆元仍是根，因此 P 的根构成一个 q 阶的域。由 F 的最小性，可知此域即为 F。

由于分裂域在同构意义下唯一， q 阶域也在同构意义下唯一（已证其为 $P=X^{q}-X$ 的分裂域）。而且，若域 F 有一个阶为 $q=p^{k}$ 的子域，则其元素恰为 $X^{q}-X$ 的 q 个根，所以 F 不能包含另一个阶为 q 的子域。

E·H·摩尔于 1893 年证明了以下的分类定理，可作为本节的总结：

有限域的阶为素数幂。对任意一个素数幂 q, 都存在 q 阶的域，并且任意两个 q 阶的域都同构。该些域中，任意的元素 x 都满足

$x^{q}=x,$

且多项式 X^q − X 可分解成

$X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).$

由此可知，GF(pⁿ) 有同构于 GF(p^m) 的子域当且仅当 m 整除 n；该情况下，仅有唯一的子域与 GF(p^m) 同构。多项式 X^pm − X 整除 X^pn − X 也是当且仅当 m 整除 n.

弗罗贝尼乌斯自同构和伽罗瓦理论

设 p 为素数， q = pⁿ 为素数幂。

在 GF(q) 中，恒等式 (x + y)^p = x^p + y^p 说明映射

$\varphi :x\mapsto x^{p}$

是 GF(q) 上 GF(p)-线性的域自同构，其保持子域 GF(p) 的元素。该映射称为弗罗贝尼乌斯自同构，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

记 φ^k 为 φ 的 k 次迭代，则

$\varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.$

此前已证明 φⁿ 为恒同映射。若 0 < k < n, 则自同构 φ^k 并非恒同映射，否则多项式

$X^{p^{k}}-X$

就有多于 p^k 个根，矛盾。

此外 GF(q) 并无其他 GF(p)-自同构。换言之，GF(pⁿ) 恰有 n 个 GF(p)-自同构，其为

$\mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.$

以伽罗瓦理论观之， GF(pⁿ) 是 GF(p) 的伽罗瓦扩展，且其伽罗瓦群为循环群。

弗罗贝尼乌斯映射为满射，因此任意一个有限域都是完美域。

一些小型的有限域

F₂:

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

· 0 1 0 0 0 1 0 1

F₃:

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

· 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

F₄: 考虑$x^{2}+x+1=0,$ 方程的根不在F₂中。记其中一根为A, 则$A^{2}+A+1=0,$且另一根为 $B=A^{2}.$

+ 0 1 A B 0 0 1 A B 1 1 0 B A A A B 0 1 B B A 1 0

· 0 1 A B 0 0 0 0 0 1 0 1 A B A 0 A B 1 B 0 B 1 A

参考文献

• 《近世代数》

参见

• 域论