隐马尔可夫模型

隐马尔可夫模型状态变迁图（例子）
x — 隐含状态
y — 可观察的输出
a — 转换概率（transition probabilities）
b — 输出概率（output probabilities）

隐马尔可夫模型（英语：Hidden Markov Model；缩写：HMM），或称作隐性马尔可夫模型，是统计模型，用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。

在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中，状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些资讯。

隐马尔可夫模型在热力学、统计力学、物理学、化学、经济学、金融学、信号处理、资讯论、模式识别（如语音识别、手写识别、手势识别、词性标记、乐谱跟随）、局部放电及生物资讯学等领域都有应用。

定义

令$X_{n}$、$Y_{n}$为离散时间随机过程， $n\geq 1$。则$(X_{n},Y_{n})$是隐马尔可夫模型的条件是：

• $X_{n}$是马尔可夫过程，其行为不可直接观测（“隐”）；
• $\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{n}\in A\ {\bigl |}\ X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n}{\bigr )}=\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{n}\in A\ {\bigl |}\ X_{n}=x_{n}{\bigr )},$

$\forall n\geq 1,\ x_{1},\ldots ,x_{n},$，且对每个博雷尔集$A$。

令$X_{t}$、$Y_{t}$为连续时间随机过程。则$(X_{t},Y_{t})$是隐马尔可夫模型的条件是：

• $X_{t}$是马尔可夫过程，其行为不可直接观测（“隐”）；
• $\operatorname {\mathbf {P} } (Y_{t_{0}}\in A\mid \{X_{t}\in B_{t}\}_{t\leq t_{0}})=\operatorname {\mathbf {P} } (Y_{t_{0}}\in A\mid X_{t_{0}}\in B_{t_{0}})$,

$\forall t_{0}$、每个博雷尔集$A,$且每族博雷尔集$\{B_{t}\}_{t\leq t_{0}}.$

术语

过程状态$X_{n}$（或$X_{t}$）称作隐状态，$\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{n}\in A\mid X_{n}=x_{n}{\bigr )}$（或$\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{t}\in A\mid X_{t}\in B_{t}{\bigr )}$）称作条件概率或输出概率。

马尔可夫模型的演化

下边的图示强调了HMM的状态变迁。有时，明确的表示出模型的演化也是有用的，我们用 x(t₁) 与 x(t₂) 来表达不同时刻 t₁ 和 t₂ 的状态。

图中箭头方向则表示不同资讯间的关系性，因此可以得知$x(t)$和$x(t-1)$有关，而$x(t-1)$又和$x(t-2)$有关。

而每个$y(t)$只和$x(t)$有关，其中$x(t)$我们称为隐藏变量（hidden variable），是观察者无法得知的变量。

隐性马尔可夫模型常被用来解决有未知条件的数学问题。

假设隐藏状态的值对应到的空间有$N$个元素，也就是说在时间$t$时，隐藏状态会有$N$种可能。

同样的，$t+1$也会有$N$种可能的值，所以从$t$到$t+1$间的关系会有$N^{2}$种可能。

除了$x(t)$间的关系外，每组$x(t),y(t)$间也有对应的关系。

若观察到的$y(t)$有$M$种可能的值，则从$x(t)$到$y(t)$的输出模型复杂度为$O(NM)$。如果$y(t)$是一个$M$维的向量，则从$x(t)$到$y(t)$的输出模型复杂度为$O(NM^{2})$。

Temporal evolution of a hidden Markov model

在这个图中,每一个时间块（x(t), y(t)）都可以向前或向后延伸。通常，时间的起点被设置为t=0 或 t=1.

马尔可夫模型的概率

假设观察到的结果为$Y$

$Y=y(0),y(1),...,y(L-1)$

隐藏条件为$X$

$X=x(0),x(1),...,x(L-1)$

长度为$L$，则马尔可夫模型的概率可以表达为：

$P(Y)=\sum _{X}P(Y\mid X)P(X)\,$

由这个概率模型来看，可以得知马尔可夫模型将该时间点前后的资讯都纳入考量。

使用隐马尔可夫模型

HMM有三个典型(canonical)问题:

• 预测(filter)：已知模型参数和某一特定输出序列，求最后时刻各个隐含状态的概率分布，即求 $P(x(t)\ |\ y(1),\dots ,y(t))$。通常使用前向算法解决。
• 平滑(smoothing)：已知模型参数和某一特定输出序列，求中间时刻各个隐含状态的概率分布，即求 $P(x(k)\ |\ y(1),\dots ,y(t)),k<t$。通常使用前向-后向算法解决。
• 解码(most likely explanation)：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列的隐含状态的序列，即求 $P([x(1)\dots x(t)]|[y(1)\dots ,y(t)])$。通常使用Viterbi算法解决。

此外，已知输出序列，寻找最可能的状态转移以及输出概率.通常使用Baum-Welch算法以及Viterbi algorithm解决。另外,最近的一些方法使用联结树算法来解决这三个问题。

具体实例

假设你有一个住得很远的朋友，他每天跟你打电话告诉你他那天做了什么。你的朋友仅仅对三种活动感兴趣：公园散步，购物以及清理房间。他选择做什么事情只凭天气。你对于他所住的地方的天气情况并不了解，但是你知道总的趋势。在他告诉你每天所做的事情基础上，你想要猜测他所在地的天气情况。

你认为天气的运行就像一个马尔可夫链。其有两个状态“雨”和“晴”，但是你无法直接观察它们，也就是说，它们对于你是隐藏的。每天，你的朋友有一定的概率进行下列活动：“散步”、“购物”、“清理”。因为你朋友告诉你他的活动，所以这些活动就是你的观察数据。这整个系统就是一个隐马尔可夫模型（HMM）。

你知道这个地区的总的天气趋势，并且平时知道你朋友会做的事情。也就是说这个隐马尔可夫模型的参数是已知的。你可以用程序语言（Python）写下来：

 states = ('Rainy', 'Sunny')
 
 observations = ('walk', 'shop', 'clean')
 
 start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
 
 transition_probability = {
    'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
    'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
    }
 
 emission_probability = {
    'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
    'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
    }

在这些代码中,start_probability代表了你对于你朋友第一次给你打电话时的天气情况的不确定性（你知道的只是那个地方平均起来下雨多些）。在这里，这个特定的概率分布并非平衡的，平衡概率应该接近（在给定变迁概率的情况下）{'Rainy': 0.571, 'Sunny': 0.429}。 transition_probability 表示基于马尔可夫链模型的天气变迁，在这个例子中，如果今天下雨，那么明天天晴的概率只有30%。代码emission_probability 表示了你朋友每天做某件事的概率。如果下雨，有50% 的概率他在清理房间；如果天晴，则有60%的概率他在外头散步。

这个例子在维特比算法页上有更多的解释。

结构架构

下图展示了实例化HMM的一般结构。椭圆形代表随机变量，可采用多个数值中的任意一种。随机变量$x(t)$是t时刻的隐状态（图示模型中$x(t)\in \{x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\}$）；随机变量y(t)是t时刻的观测值（$y(t)\in \{x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ y_{4}\}$）；箭头表示条件依赖关系。

隐马尔可夫模型的时间演化

图中可清楚看出，给定隐变量$x(t)$在时间t的条件概率分布只取决于隐变量$x(t-1)$的值，之前的则没有影响，这就是所谓马尔可夫性质。观测变量$y(t)$同理，只取决于隐变量$x(t)$的值。

在本文所述标准HMM中，隐变量的状态空间是离散的，而观测值本身则可以离散（一般来自分类分布）也可以连续（一般来自正态分布）。HMM参数有两类：转移概率与输出概率，前者控制$t-1$时刻的隐状态下，如何选择t时刻的隐状态。

隐状态空间一般假设包含N个可能值，以分类分布为模型。这意味着，对隐变量在t时刻可能所处的N种状态中的每种，都有到$t+1$时刻可能的N种状态的转移概率，共有$N^{2}$个转移概率。注意从任意给定状态转移的转移概率之和须为1。于是，转移概率构成了N阶方阵，称作马尔可夫矩阵。由于任何转移概率都可在已知其他概率的情形下确定，因此共有$N(N-1)$个转移参数。

此外，对N种可能状态中的每种，都有一组输出概率，在给定隐状态下控制着观测变量的分布。这组概率的大小取决于观测变量的性质，例如，若观测变量是离散的，有M种值、遵循分类分布，则有$M-1$个独立参数，所有隐状态下共有$N(M-1)$个输出概率参数。若观测向量是M维向量，遵循任意多元正态分布，则将有M个参数控制均值，${\frac {M(M+1)}{2}}$个参数控制协方差矩阵，共有$N\left(M+{\frac {M(M+1)}{2}}\right)={\frac {NM(M+3)}{2}}=O(NM^{2})$个输出参数。（这时，除非M很小，否则限制观测向量各元素间协方差的性质可能更有用，例如假设各元素相互独立，或假设除固定多相邻元素外，其他元素相互独立。）

学习

HMM的参数学习任务是指在给定输出序列或一组序列的情形下，找到一组最佳的状态转换和转移概率。任务通常是根据一组输出序列，得到HMM参数的最大似然估计值。目前还没有精确解这问题的可行算法，可用鲍姆-韦尔奇算法或Baldi–Chauvin算法高效地推导出局部最大似然。鲍姆-韦尔奇算法是最大期望算法的特例。

若将HMM用于时间序列预测，则更复杂的贝叶斯推理方法（如马尔可夫链蒙特卡洛采样法，MCMC采样法）已被证明在准确性和稳定性上都优于寻找单一的最大似然模型。由于MCMC带来了巨大的计算负担，在计算可扩展性也很重要时，也可采用贝叶斯推理的变分近似方法，如。事实上，近似变分推理的计算效率可与期望最大化相比，而精确度仅略逊于精确的MCMC型贝叶斯推理。

隐马尔可夫模型的应用

• 语音识别、中文断词/分词或光学字符识别
• 机器翻译
• 生物资讯学 和 基因组学
  • 基因组序列中蛋白质编码区域的预测
  • 对于相互关联的DNA或蛋白质族的建模
  • 从基本结构中预测第二结构元素
  • 通信中的解码过程
  • 地图匹配算法
• 还有更多...

隐马尔可夫模型在语音处理上的应用

因为马尔可夫模型有下列特色：

• 时间点$t$的隐藏条件和时间点$t-1$的隐藏条件有关。因为人类语音拥有前后的关系，可以从语义与发音两点来看：

1. 单字的发音拥有前后关系：例如"They are"常常发音成"They're"，或是"Did you"会因为"you"的发音受"did"的影响，常常发音成"did ju"，而且语音识别中用句子的发音来进行分析，因此需要考虑到每个音节的前后关系，才能够有较高的准确率。
2. 句子中的单字有前后关系：从英文文法来看，主词后面常常接助动词或是动词，动词后面接的会是受词或介系词。而或是从单一单字的使用方法来看，对应的动词会有固定使用的介系词或对应名词。因此分析语音频息时需要为了提升每个单字的准确率，也需要分析前后的单字。

• 马尔可夫模型将输入消息视为一单位一单位，接着进行分析，与人类语音模型的特性相似。语音系统识别的单位为一个单位时间内的声音。利用梅尔倒频谱等语音处理方法，变换成一个发音单位，为离散型的资讯。而马尔可夫模型使用的隐藏条件也是一个个被数据包的$x(t)$，因此使用马尔可夫模型来处理声音频号比较合适。

历史

隐马尔可夫模型最初是在20世纪60年代后半期Leonard E. Baum和其它一些作者在一系列的统计学论文中描述的。HMM最初的应用之一是开始于20世纪70年代中期的语音识别。

在1980年代后半期，HMM开始应用到生物序列尤其是DNA的分析中。此后，在生物资讯学领域HMM逐渐成为一项不可或缺的技术。

参见

• 安德雷·马尔可夫
• 贝叶斯推断
• 估计理论
• 条件随机域
• 排队理论
• 马尔可夫决策过程

参考书目

• Lawrence R. Rabiner, A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition. Proceedings of the IEEE, 77 (2), p. 257–286, February 1989.
• Richard Durbin, Sean R. Eddy, Anders Krogh, Graeme Mitchison. Biological Sequence Analysis: Probabilistic Models of Proteins and Nucleic Acids. Cambridge University Press, 1999. ISBN 0521629713.
• Kristie Seymore, Andrew McCallum, and Roni Rosenfeld. Learning Hidden Markov Model Structure for Information Extraction. AAAI 99 Workshop on Machine Learning for Information Extraction, 1999. (also at CiteSeer: [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• http://www.comp.leeds.ac.uk/roger/HiddenMarkovModels/html_dev/main.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• J. Li （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A. Najmi, R. M. Gray, Image classification by a two dimensional hidden Markov model, IEEE Transactions on Signal Processing, 48(2):517-33, February 2000.
• 隐马尔可夫模型(课件), 徐从富,浙江大学人工智慧研究所 [2]

外部链接

• Hidden Markov Model (HMM) Toolbox for Matlab (by Kevin Murphy)
• Hidden Markov Model Toolkit (HTK) （页面存档备份，存于互联网档案馆） (a portable toolkit for building and manipulating hidden Markov models)
• Hidden Markov Models （页面存档备份，存于互联网档案馆） (an exposition using basic mathematics)
• GHMM Library （页面存档备份，存于互联网档案馆） (home page of the GHMM Library project)
• Jahmm Java Library (Java library and associated graphical application)
• A step-by-step tutorial on HMMs （页面存档备份，存于互联网档案馆） (University of Leeds)
• Software for Markov Models and Processes (TreeAge Software)