集合 (数学)

  此条目介绍的是数学家们所称的“直观”或“朴素”的集合理论。关于更详细的说明，请见“朴素集合论”。关于有关集合的现代严格公理化理论，请见“公理化集合论”。

一个包含一些多边形的集合

集合（英语：set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同对象（英语：object）形成的总体。集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若$x$是集合$A$的元素，记作$x\in A$。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。

集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。

导言

定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：

• 族、系：通常指它的元素也是一些集合。

符号

元素通常用$a,\ b,\ c,\ d,\ x$等小写字母来表示；而集合通常用$\mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X}$等大写字母来表示。

当元素$a$属于集合$\mathbf {A}$时，记作$a\in \mathbf {A}$。

当元素$a$不属于集合$\mathbf {A}$时，记作$a\not \in \mathbf {A}$。

如果$\mathbf {A,\ B}$两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作$\mathbf {A=B}$。

特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

• 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）

互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

• 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

表示

• 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

$A=$大于零的前三个自然数

$B=$光的三原色和白色

• 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

$C=\left\{1,2,3\right\}$

$D=\{$红色$,$蓝色$,$绿色$,$白色$\}$

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，$A=C$而$B=D$，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同与否没有关系。比如：这三个集合$\left\{2,4\right\}$，$\left\{4,2\right\}$和$\left\{2,2,4,2\right\}$是相同的，因为它们有相同的元素。

• 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合间的关系

子集与包含关系

主条目：子集

B的子集A

定义

集合$A$、$B$，若$\forall a\in A$，有$a\in B\therefore A\subseteq B$。则称$A$是$B$的子集，亦称$A$包含于$B$，或$B$包含$A$，记作$A\subseteq B$或$B\supseteq A$，否则称$A$不是$B$的子集，记作$A\nsubseteq B$或$B\nsupseteq A$。

若$A\subseteq B$，且$A\neq B$，则称$A$是$B$的真子集，亦称$A$真包含于$B$，或$B$真包含$A$，记作$A\subsetneqq B$或$B\supsetneqq A$（有时也记作$A\subset B$或$B\supset A$）。

基本性质

• 包含关系“$\subseteq$”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 自反性：$\forall$集合$S$，$S\subseteq S$；（任何集合都是其本身的子集）
  • 反对称性：$A\subseteq B$且$B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
  • 传递性：$A\subseteq B$且$B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$；
• 真包含关系“$\subsetneqq$”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 反自反性：$\forall$集合$S$，$S\subsetneqq S$都不成立；
  • 非对称性：$A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A$不成立；反之亦然；
  • 传递性：$A\subsetneqq B$且$B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C$；
• 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而$\varnothing$是这个偏序关系的最小元素，即：$\forall$集合$S$，$\varnothing \subseteq S$；且若$S\neq \varnothing$，则$\varnothing \subsetneqq S$，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

举例

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
• $\left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}$
• $\left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$

运算

并

主条目：并集

两个集合可以相"加"。$A$和$B$的并集是将$A$和$B$的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合$A$，$B$，定义运算$\cup$如下：$A\cup B=\{e|e\in A$或$e\in B\}$。$A\cup B$称为$A$和$B$的并集。

A 和 B 的并集

示例

• $\{1,2\}\cup \{$红色$,$白色$\}=\{1,2,$红色$,$白色$\}$
• $\{1,2,$绿色$\}\cup \{$红色$,$白色$,$绿色$\}=\{1,2,$红色$,$白色$,$绿色$\}$
• $\left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}$

基本性质

作为集合间的二元运算，$\cup$运算具有以下性质。

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$；
• 结合律：$\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$；
• 幂等律：$A\cup A=A$；
• 幺元：$\forall$集合$A$，$A\cup \varnothing =A$；（$\varnothing$是$\cup$运算的幺元）。

交

主条目：交集

一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。$A$和$B$的交集，写作$A\cap B$，是既属于$A$的、又属于$B$的所有元素组成的集合。

若$A\cap B=\varnothing$，则$A$和$B$称作不相交。

A 和 B 的交集

定义

给定集合$A$、$B$，定义运算$\cap$如下：$A\cap B=\{e|e\in A$且$e\in B\}$。$A\cap B$称为$A$和$B$的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算，$\cap$运算具有以下性质。

• 交换律：$A\cap B=B\cap A$；
• 结合律：$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$；
• 幂等律：$A\cap A=A$；
• 空集合：$\forall$集合$A$，$A\cap \varnothing =\varnothing$；（$\varnothing$是$\cap$运算的空集合）。

其它性质还有：

• $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

示例

• $\{1,2\}\cap \{$红色$,$白色$\}=\varnothing$
• $\{1,2,$绿色$\}\cap \{$红色$,$白色$,$绿色$\}=\{$绿色$\}$
• $\{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}$

补集

主条目：差集

两个集合也可以相"减"。$A$在$B$中的相对补集，国际上通常写作 $B\setminus A$，中文教材中有时也会写作$B-A$。表示属于$B$的、但不属于$A$的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集$U$的子集。这样， $U-A$称作$A$的绝对补集，或简称补集（余集），写作$A'$或$\complement _{U}A$。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合$A$，$B$，定义运算-如下：$A-B=\{e|e\in A$且$e\not \in B\}$。$A-B$称为$B$对于$A$的差集，相对补集或相对余集。

在上下文确定了全集$U$时，对于$U$的某个子集$A$，一般称$U-A$为$A$（对于$U$）的补集或余集，通常记为$A'$或${\bar {A}}$，也有记为$A^{\text{c}}$, $A'$, $\complement _{U}A$，以及$\complement A$的。

基本性质

作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

• $A-A=\varnothing$；
• 右幺元：$\forall$集合$A$，$A-\varnothing =A$；（$\varnothing$是$-$运算的右幺元）。
• 左零元：$\forall$集合$A$，$\varnothing -A=\varnothing$；（$\varnothing$是$-$运算的左零元）。

示例

• $\{1,2\}-\{$红色$,$白色$\}=\{1,2\}$
• $\{1,2,$绿色$\}-\{$红色$,$白色$,$绿色$\}=\{1,2\}$
• $\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing$
• 若$U$是整数集，则奇数的补集是偶数

对称差

主条目：对称差

定义

给定集合$A$，$B$，定义对称差运算$\vartriangle$如下：$A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)$。

基本性质

作为集合间的二元运算，$\vartriangle$运算具有如下基本性质：

• 交换律：$A\vartriangle B=B\vartriangle A$；
• 结合律：$(A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)$；
• 幺元：$\forall$集合$A$，$A\vartriangle \varnothing =A$；（$\varnothing$是$\vartriangle$运算的幺元）。
• 逆元：$A\vartriangle A=\varnothing$；

运算性质

集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：

• 分配律:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

• 对偶律:

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

集合的元素个数

主条目：基数 (数学)

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: $\operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}$。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 $\{\}$ 或符号$\varnothing$表示。比如：集合$A$是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则$A=\varnothing$。在数学上，空集非常重要。更多信息请参阅空集。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他信息请见集合的势。

公理化集合论

主条目：公理化集合论

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

类

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“$\exists B(A\in B)$”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为$\operatorname {Set} (A)$。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

参见

• 公理化数学
• 类的理论
• 集合代数

参考文献

• Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
• Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.