亨斯托克-考茲維爾積分

在數學中，亨斯托克-考茲維爾積分（英語：Henstock–Kurzweil integral，也稱為盧津積分、 佩龍積分，有時為了和廣義當茹瓦積分區別而稱為當茹瓦積分）是黎曼積分的一種推廣，有些情況下比勒貝格積分更加寬泛。

亨斯托克-考茲維爾積分最早是由二十世紀初法國數學家阿爾諾·當茹瓦引進的。當茹瓦在研究形似：

$f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).$

的函數的時候，希望能夠為它們定義積分。這種函數往往在某一點附近無法定義黎曼積分，但是用類似極限定義的 ε − δ 方法又能夠定義出類似黎曼積分的極限。

為了給這類函數定義積分，當茹瓦將黎曼不可積的點分為若干種情形，分別用超限歸納法來定義積分。這樣的定義繁複冗長。 尼古拉·盧津使用類似絕對連續的方式給出了另一種等價定義；奧斯卡·佩龍也給出了一種等價的定義，但這個等價關係並不顯然。

1957年，捷克數學家雅羅斯拉夫·考茲維爾給出了一種比較優雅的定義，和黎曼積分的定義比較相似。考茲維爾稱之為「刻度積分」（Gauge Integral）。而拉爾夫·亨斯托克則發展並完善了這種積分理論。基於這兩位數學家的貢獻，現今一般將這種積分稱為亨斯托克-考茲維爾積分。由於考茲維爾的定義和黎曼積分的定義同樣簡潔，有的數學教育者認為可以在教學中用亨斯托克-考茲維爾積分代替黎曼積分，但這個主張並未被廣泛採納。

定義

這裡只給出亨斯托克的定義：

區間分割與刻度

給定一個取樣分割P：$a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b,\ \ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]$和一個正函數$\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )\,$（所謂的「刻度」），如果

$\forall i,\,\ \ t_{i}-\delta (t_{i})<u_{i-1}\leq t_{i}\leq u_{i}<t_{i}+\delta (t_{i}).$

就稱這個分割是一個δ-精細分割。

黎曼和

對一個在閉區間$[a,b]$有定義的實值函數$f$，$f$關於取樣分割P：$x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$的黎曼和定義為以下和式：

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

和式中的每一項是子區間長度$x_{i+1}-x_{i}$與在$t_{i}$處的函數值$f(t_{i})$的乘積。直觀地說，就是以標記點$t_{i}$上的函數值$f(t_{i})$到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。

亨斯托克-考茲維爾積分

$S$是函數$f$在閉區間$[a,b]$上的亨斯托克-考茲維爾積分，若且唯若對於任意的$\epsilon >0$，都存在刻度函數$\delta$，使得對於任意的取樣分割P：$x_{0},\ldots ,x_{n}$、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$，只要P是δ-精細分割，就有：

$\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,$

從定義中可以看出，亨斯托克-考茲維爾積分比黎曼積分更加注重區間上的取樣。黎曼積分中，只將分割的小區間的最大長度作為精細度的標準。亨斯托克-考茲維爾積分的定義中引入「刻度」函數，並將取樣值和刻度函數聯繫起來，定義分割的精細程度。如果將刻度函數δ設定為常值函數，那麼亨斯托克-考茲維爾積分就退化為黎曼積分。

δ-精細分割的存在性

如果對某些刻度函數δ，δ-精細分割不存在，那麼定義中「只要P是δ-精細分割，就有」一句就會變成一個前件全真的判斷，從而失去應有的意義。Cousin定理說明，對任意的刻度函數δ，必定存在δ-精細分割，杜絕了亨斯托克-考茲維爾積分定義邏輯上可能存在的瑕疵。

積分的唯一性

為了能夠良好地定義積分，亨斯托克-考茲維爾積分的定義中的S必須是唯一存在的，同一個函數在同一個區間上不能有兩個不同的積分值。可以證明，亨斯托克-考茲維爾積分如果存在就必定是唯一的。這說明亨斯托克-考茲維爾積分是良好定義的。

參見

• 黎曼－斯蒂爾傑斯積分
• 廣義積分
• 勒貝格積分