伴隨矩陣

此條目介紹的是古典伴隨矩陣。關於現今一般所指的伴隨算子，請見「埃爾米特伴隨」。

在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣（英語：adjugate matrix）是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。

$\mathbf {A}$的伴隨矩陣記作$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$，或$\mathbf {A} ^{*}$。

定義

參見：子式和餘子式、餘因子矩陣和轉置矩陣

設R是一個交換環，A是一個以R中元素為係數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：

• 定義：A關於第i行第j列的餘子式（記作M_ij）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式。
• 定義：A關於第i行第j列的代數餘子式是：

$\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$。

• 定義：A的余子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i行第j列的元素是A關於第i 行第j 列的代數餘子式。

引入以上的概念後，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的余子矩陣的轉置矩陣：

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}$，

也就是說，A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A關於第j行第i列的代數餘子式。 簡言之，伴隨矩陣就是把原來余子矩陣C每一列的代數餘子式橫著寫：

$\left[\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right]_{ij}=\mathbf {C} _{ji}$。

例子

2x2矩陣

一個$2\times 2$矩陣$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}$的伴隨矩陣是

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}$

3x3矩陣

對於$3\times 3$的矩陣，情況稍微複雜一點：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

其伴隨矩陣是：

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}^{T}$

其中

$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|$

要注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置，因此第3行第2列的係數是A關於第2行第3列的代數餘子式。

具體情況

對於數值矩陣， 例如求矩陣 $A={\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}$ 的伴隨矩陣$\operatorname {adj} (A)$，

只需將數值代入上節得到的表達式中。

即：$\operatorname {adj} (A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})$。

其中，$M_{ij}$為刪掉矩陣 $A$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，$C_{ji}$為矩陣 $A$ 的餘因子。

例如：$\operatorname {adj} (A)$中第3行第2列的元素為

$\operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6$

依照其順序一一計算，便可得到計算後的結果是：

$\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}$

應用

作為拉普拉斯公式的推論，關於n×n矩陣A的行列式，有：

$\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)$

其中I是n階的單位矩陣。事實上，A adj(A)的第i行第i列的係數是

$\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}C_{i,j}$。根據拉普拉斯公式，等於A的行列式。

如果i ≠ j，那麼A adj(A)的第i行第j列的係數是

$\sum _{k=1}^{n}a_{i;k}C_{j,k}$。拉普拉斯公式說明這個和等於0（實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為0）。

由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣A可逆若且唯若其行列式在環R中可逆。

這是因為如果A可逆，那麼

$1=\det(\mathbf {I} )=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1})$，

如果det(A)是環中的可逆元素那麼公式（*）表明

$\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

性質

對$n\times n$的矩陣A和B，有：

1. $\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$，
2. $\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$，
3. $\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}$，
4. $\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}$，
5. $\mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )$
6. 當n>=2時，$\mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A}$
7. 如果A可逆，那麼$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}$
8. 如果A是對稱矩陣，那麼其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果A是反對稱矩陣，那麼當n為偶數時，A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n為奇數時則是對稱矩陣。
9. 如果A是（半）正定矩陣，那麼其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。
10. 如果矩陣A和B相似，那麼$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$和$\mathrm {adj} (\mathbf {B} )$也相似。
11. 如果n>2，那麼非零矩陣A是正交矩陣若且唯若$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}$

伴隨矩陣的秩

當矩陣A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣A不可逆時，A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當A的秩小於n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。

伴隨矩陣的特徵值

設矩陣A在複域中的特徵值為$\lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$(即為特徵多項式的n個根），則A的伴隨矩陣的特徵值為

$\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}$。

證明

這裡要用到一個結論作為引理：一個n階矩陣的n個特徵值的和等於它的跡數，它們的乘積等於矩陣的行列式。

分3種情況討論：

• 如果A的秩為n，即是說A可逆，那麼由引理有：$\det A=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$。只需證明A的伴隨矩陣的特徵值為${\frac {\det A}{\lambda _{1}}},{\frac {\det A}{\lambda _{2}}},\cdots ,{\frac {\det A}{\lambda _{n}}}$。考察矩陣$X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$：

$\det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))$

$\ \ =\det(X\mathbf {I} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1})$

$\ \ =\det \mathbf {A} ^{-1}\cdot \det(X\mathbf {A} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {I} )$ $\ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )$

由於$\det(\mathbf {A} -X\mathbf {I} )=\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-X)$，因此

$\det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )$

$\ \ =\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-{\frac {\det \mathbf {A} }{X}})$

$\ \ ={\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )$

因此

$\det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))$

$\ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot {\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )$

$\ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})$

$\ \ =\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})$

可以看到$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$的特徵多項式為$\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})$，因此命題成立。

• 如果A的秩嚴格小於n-1，即是說A至少有兩個特徵值為0，於是

$\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}$

全部都是0。這時A的伴隨矩陣為0，因此特徵值也全是0。命題成立。

• 如果A的秩等於n-1，即是說A至少有一個特徵值為0，不妨設其為$\lambda _{1}$。由於這時A的伴隨矩陣秩為1，它至少有n-1個特徵值為0。設剩餘的一個為$\alpha$，則其跡數為$\alpha$。另一方面，A的伴隨矩陣的跡數為

$C_{11}+C_{22}+\cdots +C_{nn}$

這個和恰好等於$\sum _{i=1}^{n}\prod _{k\neq i}\lambda _{k}$，即等於$\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n}$（其餘都是0）。

綜上所述，對任意的矩陣A，命題都成立。

伴隨矩陣和特徵多項式

設 $p(t)=\mathrm {det} (\mathbf {A} -t\mathbf {I} )$ 為$\mathbf {A}$的特徵多項式，定義$q(t)={\frac {p(0)-p(t)}{t}}$，那麼：

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})$,

其中$p_{i}$是$p(t)$的各項係數：

$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}$。

伴隨矩陣也出現在行列式的導數形式中。

參見

• 逆矩陣
• 可逆元素
• 余子矩陣
• 行列式

參考來源

• Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants. Linear Algebra and its Applications 3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 （英語）. 
• 居余馬. 线性代数 2. 清華大學出版社. 2002 （中文（中國大陸））. 

外部連結

• 矩陣論參考手冊 (英文)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）