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單參數群

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數學中,一個單參數群one-parameter group)或稱單參數子群one-parameter subgroup)通常表示從實數 R(作為加法群)到另一個拓撲群 G 的一個連續群同態

φ : RG.

這意味著它嚴格說來其實不是一個;如果 φ 是單射,則其像 φ(R) 是 G 的一個同構於加法群 R 的子群。這就是說,我們只知道

φ (s + t) = φ(s)φ(t)

其中 s, t 是群在 G 中的參數。我們可能有

φ(s) = e, G 中的單位元

對某個 s ≠ 0 成立。譬如 G單位圓是這可能發生,且

φ(s) = eis.

在這種情形,φ 的由 2π 乘以整數組成。

一個單參數群在一個集合上的作用稱為

一個技術複雜性在於 φ(R) 作為 G子空間的拓撲可能比 R 上的要粗糙;這在 φ 是單射時可能發生。譬如考慮當 G 是一個環面 T,φ 是沿著一個無理斜率纏繞的直線。

所以一個單參數群或單參數子群需區別於一個群或一個子群自身,有三個原因:

  1. 它有一個確定的參數化
  2. 群同態可能不是單射,
  3. 誘導拓撲可能不是實線上的標準拓撲。

這樣的單參數群在李群理論具有基本重要性,其中相伴的李代數中每一個元素定義了這樣一個同態,指數映射。在矩陣群的情形,它由矩陣指數給出。

另一個重要情形出現於泛函分析G 是一個希爾伯特空間中的酉算子。參見單參數酉群的斯通定理

鮑爾·科恩Paul Cohn)在其1957年專題論文《李群》中58頁,給出如下定理:

任何連通一維李群解析同構於實數加法群 或實數模 1 加法群 。特別地,任何一位李群局部同構於 R

物理

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物理中,單參數子群描述了動力系統[1] 而且,只要一個物理定律系統滿足一個單參數群可微對稱,則根據諾特定理有一個守恆量

狹義相對論裏,快度參數可以用來幫助比較或區別幾個不同的慣性參考系。在相對論的運動學理論和動力學理論裏,快度替代了速度的地位。由於快度是無界的,快度的單參數群是非緊緻的。快度的概念是由 (Alfred Robb) 於 1911 年提出,是十九世紀雙曲正規化四元量 (hyperbolic versor) 概念的重新包裝。James Cockle威廉·金頓·克利福德Alexander Macfarlane ,這幾位數學物理學家,都曾經在他們的作品中,使用過一個等價的笛卡兒平面映射。這映射的算子是個雙曲複數

其中, 是雙曲正規化四元量,

請注意,虛數單位類似。但是, 不是虛數單位。並且,

參見

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參考文獻

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  1. ^ Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications. Springer-Verlag, 1995.