45度的3個同界角 在幾何學 中，同界角 （英語：Coterminal angles ）是指兩個有向角 （有標示起始邊與終邊的角）有著各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一對起始邊與終邊，即共享相同始邊和終邊的角度，但擁有不同的旋轉 量，就稱為同界角 [ 1] 三角函數 值，因此三角函數具有週期性 。每個角皆有無限多 個同界角 ，其量值可以為負 ，但必須是一個實數 。
正轉 和逆轉 都可以得到相同的角 ，但他們擁有不同的旋轉量，圖中為45度和─ 315度每個同界角皆差360度 ，換句話說，每360度就會出現一個同界角[ 2] 向量 內積 與外積 皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角 和最大負同界角 。
同界角可以如下定義：
若有兩個角有相同的始邊 與終邊，則兩個角互為同界角
若兩角相差360度的整數 倍則兩個角互為同界角 同界角存在關係式：
θ
1
−
θ
2
=
360
∘
k
,
k
∈
Z
{\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=360^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} }
亦可寫為：
θ
1
−
θ
2
=
2
k
π
,
k
∈
Z
{\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }
或：
sin
θ
1
−
sin
θ
2
=
0
{\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}
cos
θ
1
−
cos
θ
2
=
0
{\displaystyle \cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}=0}
從三角函數 的週期 可以發現，每間隔
2
π
{\displaystyle 2\pi }
從反三角函數 圖形得知反餘弦 必得到最小正同界角 ，而反正弦 則有可能得到最小正同界角 或最大負同界角 從三角函數 的誘導公式 可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函數，只要位移為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
θ
{\displaystyle \theta }
θ
+
2
π
{\displaystyle \theta +2\pi }
移位
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
移位
π
{\displaystyle \pi }
tan
{\displaystyle \tan }
cot
{\displaystyle \cot }
移位
2
π
{\displaystyle 2\pi }
sin
{\displaystyle \sin }
cos
{\displaystyle \cos }
csc
{\displaystyle \csc }
sec
{\displaystyle \sec }
sin
(
θ
+
π
2
)
=
+
cos
θ
cos
(
θ
+
π
2
)
=
−
sin
θ
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
sec
(
θ
+
π
2
)
=
−
csc
θ
csc
(
θ
+
π
2
)
=
+
sec
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}}
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
tan
(
θ
+
π
)
=
+
tan
θ
cot
(
θ
+
π
)
=
+
cot
θ
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}}
sin
(
θ
+
2
π
)
=
+
sin
θ
cos
(
θ
+
2
π
)
=
+
cos
θ
tan
(
θ
+
2
π
)
=
+
tan
θ
cot
(
θ
+
2
π
)
=
+
cot
θ
sec
(
θ
+
2
π
)
=
+
sec
θ
csc
(
θ
+
2
π
)
=
+
csc
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}}
另外，從簡單的三角方程式中，也可以找到同界角，例如：
考慮方程式
cos
(
θ
)
=
k
,
θ
{\displaystyle \cos(\theta )=k\,,\,\theta }
arccos
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
最小正同界角 ，其餘解皆與
arccos
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
arccos
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
但是有例外，如正切 和餘切 ，由於其週期 不為360度，如正切函數的週期為180 度 （即
π
{\displaystyle \pi }
角的量與最小正同界角（黃）與最大負同界角（藍）的關係 同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中，最小正同界角恆為正， 通常解某些具週期性的方程式的主值時，是使用最小正同界角。最小正同界角
2
π
{\displaystyle 2\pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
最大負同界角恆為負，在
−
2
π
{\displaystyle -2\pi }
^ Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles . Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412頁. ISBN 1133712673存檔 於2019-10-18）. ^ Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle . Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. 2004-10-28: 第90頁. ISBN 0471680192存檔 於2019-11-06）.
