唯一量化

在謂詞邏輯和依賴於它的技術領域中，唯一量化或唯一存在量化，嘗試形式化對於「精確」的一個事物，或對於精確的特定類型的一個事物為真的某個事物的概念。唯一量化的一般化是計數量化。

例如:

恰有一個自然數 x 使得 x - 2 = 4。

符號化寫為:

∃!x ∈ N, x - 2 = 4

符號 ∃! 叫做「唯一量詞」或「唯一存在量詞」。它通常被讀作「有且僅有一個」、「恰有一個」、「存在唯一一個」（存在著這個符號的在文法上和如何閱讀上的多個變體）。

簡約為普通量詞

唯一量化通常被認為是全稱量化(「對於所有」，∀)、存在量化(「對於某個」，∃)和等式(「等於」，=)的組合。因此，如果 P(x) 是要在其上量化的謂詞(在我們上面例子中的 P(x) 是 「x - 2 = 4」)，那麼 ∃!x, P(x) 意味著:

$\exists x(P(x)\land \forall y(P(y)\rightarrow x=y))$

該表述等價於:

$\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))$

「正好存在一個 x 使得 P(x)」的陳述還可以寫為兩個更弱的陳述的邏輯合取。其中第一個簡單的存在量化：∃x，P(x)。第二個是唯一性，有些人寫為 !x, P(x)。它被定義為: ∀x, ∀y, P(x) ∧ P(y) → x = y。

這兩個陳述的合取:

$\exists x\,P(x)\land \forall x\,\forall y\,(P(x)\land P(y)\to x=y)$

邏輯等價於前面給出的單一陳述。但是實際上，證明唯一存在性通常要分別證明這兩個陳述。

另存在一種等效表述,優點是相當簡潔:

$\exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x)$

參見

• 量化 (數理邏輯)