扎里斯基曲面

在數學的一個分支 代數幾何中，扎里斯基曲面（Zariski surface）是指 特徵 p > 0的 域 上的一個曲面，使得存在從 射影平面 到該曲面的一個度數為p的優勢不可分映射。 特別是，所有扎里斯基曲面都是 單有理 的。 1977年Piotr Blass用 奧斯卡·扎里斯基 的名字來命名了該曲面，因為扎里斯基在1958年使用這種曲面給出了特徵p > 0的單有理曲面的例子，而這個曲面不是有理的。 (相比特徵為0的情況下， 卡斯泰定理 意味著所有單有理曲面都是有理的。)

扎里斯基曲面 雙有理 於 仿射空間 A³ 中由 不可多項式 定義的曲面

$z^{p}=f(x,y).\$

經過長達43年的努力，奧斯卡·扎里斯基在1971年提出的下述問題得到解決：令 S 為一個幾何虧格為0的扎里斯基曲面。 那麼 S 一定是一個有理曲面嗎？對於 p =2和 p =3，回答是否定的：1977年Piotr Blass在他的 密西根大學 博士論文，和1978年William E.Lang在他的哈佛大學博士論文中都證明了這一點。 Kentaro Mitsui （2014） 宣布了進一步的例子，在所有特徵p>0都對扎里斯基問題給出了否定回答。但是，他的方法在那時是非構造性的，我們無法得到p>3時的顯式方程。

參考文獻

• Blass, Piotr; Lang, Jeffrey, Zariski surfaces and differential equations in characteristic p>0, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 106, New York: Marcel Dekker Inc., 1987, ISBN 978-0-8247-7637-4, MR 0879599 
• Mitsui, Kentaro, On a question of Zariski on Zariski surfaces, Math. Z., 2014, 276 (1-2): 237–242, MR 3150201, doi:10.1007/s00209-013-1195-0 
• Zariski, Oscar, On Castelnuovo's criterion of rationality p_a=P₂=0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2: 303–315 [2017-11-23], ISSN 0019-2082, MR 0099990, （原始內容存檔於2017-12-01）