施萊夫利符號

數學中，施萊夫利符號（Schläfli symbol）是一個可以表示一特定正多胞形或密鋪圖案若干重要特性的符號。其命名是為了紀念19世紀數學家路德維希·施萊夫利在幾何和其他領域的許多重要貢獻。

正多邊形

一個有n個邊的正多邊形，其施萊夫利符號為 $\{n\}$ 。例如，施萊夫利符號為 $\{5\}$ 的多邊形即為正五邊形。

星形正多邊形

星形正多邊形指的是正非凸多邊形，即邊長相等的凹多邊形或複雜多邊形。星形正多邊形的施萊夫利符號若為{^p/_q}，表示此一星形多邊形有p個角，每個角和間隔第q個角相連。因此 $\{^{5}/_{2}\}$ 即代表的是正五芒星。

正星芒形

當p和q不互質時，此時的正星形多邊形即稱為正星芒形（star figure）。若p跟q的最大公因數為n，此一正星芒形即是由n個 $\{^{^{p}/_{n}}/_{^{q}/_{n}}\}$ 相互旋繞而成。例如， $\{6/2\}$ ，即正六角星，便是由兩個正三角形 $\{3/1\}$ 所組成的，而 $\{10/4\}$ 則是由兩個正五角星所組成。

正多面體

正多面體的施萊夫利符號計做{p,q}，其中p代表每個面的邊數，而q代表頂點圖的邊數，即每個頂點連接多少條棱。此外，還有三個二維空間歐氏正堆砌（honeycomb），它們的施萊夫利符號如下：

四維及以上正多胞形

高維空間多胞形的施萊夫利符號可以通過類比得出，一個n維正多胞形的施萊夫利符號包含n-1個數字。

四維正多胞體

四維正多胞體的施萊夫利符號記做{p,q,r},其中{p}為二維面，{p,q}為胞，{q,r}為頂點圖，{r}為棱圖。四維凸正多胞體共有6種，另有一個三維空間歐氏正堆砌（honeycomb），它們的施萊夫利符號如下：

正五胞體：{3,3,3}
正八胞體：{4,3,3}
正十六胞體：{3,3,4}
正二十四胞體：{3,4,3}
正一百二十胞體：{5,3,3}
正六百胞體：{3,3,5}
正六面體堆砌：{4,3,4}

五維及以上正多胞形

在五維及以上空間中只存在三種凸正多胞形，並且五維及以上空間只有一種歐氏正堆砌，其中單純形（正n+1胞體）的施萊夫利符號為{3,3,3,...,3,3,3}（共n-1個3），超方形（正2n胞體）的施萊夫利符號為{4,3,3,...,3,3,3}（共n-2個3），正軸形（正2ⁿ胞體）的施萊夫利符號為{3,3,3,...,3,3,4}（共n-2個3），超立方體堆砌的施萊夫利符號為: {4,3,3,...,3,3,4}（中間共n-3個3）。此外，存在三個四維空間歐氏正堆砌，分別是正八胞體堆砌:{4,3,3,4}，正十六胞體堆砌:{3,3,4,3}和正二十四胞體堆砌:{3,4,3,3}。

參考文獻

Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50.（Extended Schläfli notation used）

外部連結