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標準差

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圖中紅藍兩組數據平均值相同,但標準差不同。紅色數據的標準差較藍色數據的標準差要小。

標準差,又稱標準偏差均方差 (英語:standard deviation,縮寫SD,符號σ),在機率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義:為變異數主平方根,反映組內個體間的離散程度;標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分布程度的結果,原則上具有兩種性質:

  1. 為非負數值(因為平方後再做平方根);
  2. 與測量資料具有相同單位(這樣才能比對)。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差,及一個子集合樣品數的標準差之間,有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

闡述及應用

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簡單來說,標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。

例如,兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。

表述「相差個標準差」,即在 樣本(sample)範圍內考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。

母體的標準差

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基本定義

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為平均值。

簡化計算公式

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上述公式可以如下代換而簡化:

所以:

根號裡面,亦即變異數)的簡易口訣為:「平方的平均」減去「平均的平方」。

母體為隨機變數

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隨機變數的標準差定義為:

須注意並非所有隨機變數都具有標準差,因為有些隨機變數不存在期望值。 如果隨機變數具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。

離散隨機變數的標準差

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是由實數構成的離散隨機變數(英語:discrete random variable),且每個值的機率相等,則的標準差定義為:

 ,其中 

換成用來寫,就成為:

 ,其中 

目前為止,與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個可以有不同機率,則的標準差定義為:

 ,其中 

這裡,的數學期望值。

連續隨機變數的標準差

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為機率密度連續隨機變數(英語:continuous random variable),則的標準差定義為:

其中的數學期望值:

標準差的特殊性質

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對於常數和隨機變數

其中:
  • 表示隨機變數共變異數
  • 表示,即的變異數),對亦同。

樣本的標準差

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在真實世界中,找到一個母體的真實的標準差並不實際。大多數情況下,母體標準差是通過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。

從一大組數值當中取出一樣本數值組合,常定義其樣本標準差

樣本變異數是對母體變異數不偏估計。之所以中的分母要用而不是像母體樣本差那樣用,是因為自由度,這是由於存在約束條件

範例

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這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{5, 6, 8, 9}:

  • 第一步,計算平均值
(因為集合裏有4個數),分別設為:

則平均值為

  • 第二步,計算標準差

常態分布的規則

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深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍,在常態分布中,此範圍所佔比率為全部數值之68%;兩個標準差之內(深藍,藍)的比率合起來為95%;三個標準差之內(深藍,藍,淺藍)的比率合起來為99.7%。

在實際應用上,常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。若其假設正確,則約68%數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍,約95%數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍,以及約99.7%數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

.[1]
Percentage within(z)
z(Percentage within)

數字比率
標準差值
機率 包含之外比例
百分比 百分比 比例
0.318 639σ 25% 75% 3 / 4
0.674490σ 50% 50% 1 / 2
0.994458σ 68% 32% 1 / 3.125
1σ 68.2689492% 31.7310508% 1 / 3.1514872
1.281552σ 80% 20% 1 / 5
1.644854σ 90% 10% 1 / 10
1.959964σ 95% 5% 1 / 20
2σ 95.4499736% 4.5500264% 1 / 21.977895
2.575829σ 99% 1% 1 / 100
3σ 99.7300204% 0.2699796% 1 / 370.398
3.290527σ 99.9% 0.1% 1 / 1000
3.890592σ 99.99% 0.01% 1 / 10000
4σ 99.993666% 0.006334% 1 / 15787
4.417173σ 99.999% 0.001% 1 / 100000
4.5σ 99.9993204653751% 0.0006795346249% 1 / 147159.5358
3.4 / 1000000 (每一邊)
4.891638σ 99.9999% 0.0001% 1 / 1000000
5σ 99.9999426697% 0.0000573303% 1 / 1744278
5.326724σ 99.99999% 0.00001% 1 / 10000000
5.730729σ 99.999999% 0.000001% 1 / 100000000
6σ 99.9999998027% 0.0000001973% 1 / 506797346
6.109410σ 99.9999999% 0.0000001% 1 / 1000000000
6.466951σ 99.99999999% 0.00000001% 1 / 10000000000
6.806502σ 99.999999999% 0.000000001% 1 / 100000000000
7σ 99.9999999997440% 0.000000000256% 1 / 390682215445

標準差與平均值之間的關係

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一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。從某種意義上說,如果用平均值來考量數值的中心的話,則標準差也就是對統計的分散度的一個「自然」的測度。因為由平均值所得的標準差要小於到其他任何一個點的標準差。較確切的敘述為:設實數,定義函數

使用微積分或者通過配方法,不難算出在下面情況下具有唯一最小值:

幾何學解釋

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幾何學的角度出發,標準差可以理解為一個從維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子,一組數據中有3個值,。它們可以在3維空間中確定一個。想像一條通過原點的直線。如果這組數據中的3個值都相等,則點就是直線上的一個點,的距離為0,所以標準差也為0。若這3個值不都相等,過點垂線垂直於於點,則的坐標為這3個值的平均數:

運用一些代數知識,不難發現點與點之間的距離(也就是點到直線的距離)是。在維空間中,這個規律同樣適用,把換成就可以了。

參考文獻

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  1. ^ Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. [2014-09-30]. (原始內容存檔於2021-04-02). 

外部連結

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