狄利克雷原理

在數學中的位勢論里，狄利克雷原理是關於在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的某個區域 $\Omega$ 上的泊松方程

\Delta u+f=0\,

滿足邊界條件

在

\partial \Omega

上

u=g\,

的解 u(x) 的刻畫。原理說明，u(x) 是使得狄利克雷勢能

E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x

最小的幾乎處處二次可導，並且在邊界 $\partial \Omega$ 上滿足 $v=g$ 的函數 $v$ （如果至少存在一個函數使得以上的積分成立的話）。這個原理得名於德國數學家勒熱納·狄利克雷。

由於以上的狄利克雷積分是下有界的，因此必然存在一個下確界。黎曼和其他的數學家都認為下確界一定能夠達到，直到魏爾斯特拉斯舉出了一個無法達到下確界的泛函的例子。後來希爾伯特嚴格證明了黎曼對狄利克雷原理的使用之正當性。

證明

以下給出 $g=0$ 時的證明^[1]。假設 u 是使得

E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x

最小的並且幾乎處處二次可導，並且在邊界 $\partial \Omega$ 上滿足 $v=0$ 的函數 $v$ ，那麼對於任意一個滿足邊界條件的函數 $w$ ，任意正實數 $\varepsilon$ 都有：

E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x

即

\int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0

上式左側是一個關於 $\varepsilon$ 的二次多項式，並且在 $\varepsilon =0$ 的時候取到最小值，所以有：

\int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0

另一方面，由於函數 $w$ 滿足邊界條件，即在 $\partial \Omega$ 上滿足 $w=0$ ，因此有：

{\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}

這個結果對所有滿足邊界條件的函數 $w$ 都成立，因此根據變分法基本引理，可以得到 $\Delta u+f=0$

^ Mark.A.Prinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications. Waveland Pr Inc. 2003. ISBN 978-1577662754.

Courant, R., Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience, 1950
Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0821807729
埃里克·韋斯坦因. Dirichlet's Principle. MathWorld.