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群作用

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給定一個等邊三角形,通過把所有頂點映射到另一個頂點,繞三角形中心逆時針 120°旋轉「作用」在這個三角形的頂點的集合上。

數學上,對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的:的每個元素作為一個對射(或者對稱作用)作用在某個集合上。在這個情況下,群稱為置換群(特別是在群有限或者不是線性空間時)或者轉換群(特別是當這個集合是線性空間而群作為線性轉換作用在集合上時)。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示(通常該集合有限),並且可以表述為置換矩陣,一般在有限的情形作此考慮-這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

定義

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為一個 為一個集合 上的一個(左) 群作用 是一個二元函數

該函數滿足如下兩條公理:

  1. 對所有 以及
  2. 對每個 ,有 ( 為群 單位元素)。

一般稱群 (在左邊)作用於集合 上,或稱 是一個 -集合

為簡化在群作用 上使用的符號,我們可以將其柯里化:令 為由單個元素 給出的映射 ,這樣可以通過考慮函數集 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作

其中 表示兩函數的複合。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應,它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為

一般簡寫為

由上述兩條公理可知,對固定的元素 ,從映射到 是一個對射(單射和滿射的條件可以分別通過考慮 給出)。因此,也可以將 上的群作用定義為從 對稱群群同態

右群作用

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我們可以類似地定義一個 上的右群作用為函數,滿足以下公理:

注意左和右作用的區別僅在於像 這樣的積在 上作用的次序。左群作用中, 先作用,然後才到 ,而對於右作用 先作用,然後才到 。右作用與群上的逆操作複合可以構造出一個左作用。如果 為一右作用,則

是一左作用,因為

所以我們可以不失一般性地考慮左群作用。

群作用的種類

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群G作用在集合X上的作用稱為:[1]

遞移性(Transitive)
如果X是一個非空集合,對於每對數對 x,y X,則存在一個gG,使得,我們就稱此作用為遞移性
忠實性(Faithful)
如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中,我們就稱此作用為忠實的。換言之,就是群G到X的置換群之中為單射。
自由性(Free)
如果給定 ,存在,則有著,則稱為此作用為自由性。
正則的(Regular)
同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的,又稱簡單遞移(英語:simply transitive)。
n-遞移性(n-transitive)
如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 gxk = yk 對所有 1 ≤ kn ,我們就稱其為n-遞移性
本原的(Primitive)
如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block),那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

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軌道

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令群 作用在集合 上,對 中的元素 上的軌道 的子集,定義為

記作

集合 的兩個軌道要麼相等,要麼完全不相交,因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道 存在公共元素 ,那麼存在兩個 中的元素 ,使得 。因而 ,反之亦可推出 ,所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是陪集,假若 的一個子集,且定義 中元素的慣常運算規則為 上的一個作用,那麼 的陪集 ()就是 的軌道。

不變子集

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的一個子集,群 作用在 上,對於群 中的所有元素 ,以及所有 中的元素 ,有 ,則我們會說 的作用下是封閉的。

的一個元素,對於群中的所有元素而言,都有,那麼就稱-不變的(-invariant)。

不動點與穩定子群

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,如果 ,則 是關於 的一個不動點

的元素 ,所有令 中的元素 構成的集合稱為 關於 穩定子群,記作

的一個子群,因為根據定義,因此 的單位元素 中。如果 ,那麼的反元素也是的元素,因為

軌道-穩定點定理

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軌道與穩定子群緊密相關。令群 作用在 上,令 中的 ,考慮映射 。該映射的值域等於軌道 中的兩元素 的像 相同的條件是

換言之, 若且唯若 在穩定子群 的同一個陪集中。所以所有在軌道 中的元素 原像都包含於某個陪集中,每個陪集的像亦為 的一個單元素集合。因此 事實上是 的所有陪集與 的元素的一一對應 是一個對射函數

這個結論稱為軌道-穩定點定理,有

伯恩賽德引理

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而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理

其中 關於 的穩定子群。 都有限時該引理尤其重要,可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

西羅定理

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範例

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  • 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 gx = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X;換句話說,每個群元素對應 X上的恆等置換[2]

參考資料

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  1. ^ Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905. 
  2. ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.