質量通量

質量通量（mass flux）是指單位時間內通過單位面積的質量，常用j、J、φ或Φ 表示，有時會加下標m表示是針對質量的通量。其國際標準制單位為kg s^-1 m^-2。

定義

質量通量可以用以下的極限來定義：

$j_{m}=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I_{m}}{A}}$

其中

$I_{m}=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}$

是單位時間的質量，而A是質量所通過的截面積。

若要計算向量形式的質量通量j_m，需要計算從時間t₁到t₂之間通過表面S的曲面積分，可以得到在時間(t₂ − t₁)內通過表面的總質量：

$m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t$

要計算的面積可能是平坦或是彎曲的，也可能是一個曲面或是一截面積。例如考慮流過管路內的流體，則其面積就是指定區域的截面積。

向量面積是由面積大小A和面積的單位法向量$\mathbf {\hat {n}}$組合而成的物理量，其關係是$\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$。

若質量通量j_m和截面積的法向量$\mathbf {\hat {n}}$有θ度的夾角，則

$\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta$

其中·為向量的內積，因此通過截面積的質量通量為j_m cos θ，而沿著截面積切線的質量通量為j_m sin θ，但這部份的分量沒有通過截面積。

流體方程

替代方程

配合向量的定義，質量通量也可以表示為下式：

$\mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u}$

其中：

• ρ 為密度，
• u 為流體的流速

有時可以用此方程來定義向量形式的質量通量。

混合流體的質量通量及莫耳通量

若流體是多種物質的混合物，需依混合物中的各個成份個別計算質量通量。

若流體中只有一種物質，適合用質量通量來表示，但若流體中包括許多不同的粒子，此時比較適合用另一個類似的物理量來描述，稱為莫耳通量。

質量通量

若使用質量通量，成份i的質量通量為：

$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}$

成份i的質心質量通量（barycentric mass flux）為：

$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)$

其中$\langle \mathbf {u} \rangle$為混合物中所有成份的平均質量流速（mass velocity），可以用下式計算：

$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}$

其中：

• ρ為混合物的平均密度
• ρ_i為成份i的密度
• u _i為成份i的速度

平均速度是依所有成份依密度加權來計算平均。

莫耳通量

若將上式的密度ρ改為莫耳數n，則可計算莫耳通量。

莫耳通量是單位時間通過單位體積的莫耳數：

$\mathbf {j} _{\rm {n}}=n\mathbf {u}$

因此成份i的莫耳通量（單位時間通過單位體積的莫耳數）為：

$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n_{i}\mathbf {u} _{i}$

成份i的質心莫耳通量（barycentric molar flux）為：

$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)$

此時$\langle \mathbf {u} \rangle$則是混合物中所有成份的莫耳速度（molar velocity）：

$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}n_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}$

用法

在流體動力學的連續方程式中會用到質量通量：

$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

上述方程式表示流體的質量守恆，流體只能從一處流到另一處。

莫耳通量則出現在有關擴散作用的菲克第一定律中：

$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla c$

其中D為擴散係數，c為物質的濃度。

相關條目

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