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超現實數

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數學上,超現實數系統(英語:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序體[註 1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序體中最大的;其他的有序體,如有理數體實數體有理函數域列維-奇維塔域英語Levi-Civita field上超實數體英語Superreal number超實數體等,全都是超現實數體的子體。超現實數體也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數

超現實數樹的可視化。

超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2][1][2]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

概述

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康威[3]使用遞迴構造了超現實數,其中每個數都是兩個數集構成的序對,記為 。這兩個集合要求 里的每個元素都嚴格小於每個 里的元素。不同的序對可能表達同樣的數字:

整數及二進分數

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讓我們先來看幾個簡單的例子。

因此整數都是超現實數。(以上幾行是定義而非等式。)

至此我們可以通過超現實數定義二進分數(分母為2的冪次的分數)。

其他實數

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為了定義更多的實數,我們可以將使用無限的左右集合:,事實上可以同樣地使用二進制展開的方法定義出所有實數。

無窮數

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根據歸納法,我們可以構造出 等無窮大的數, 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。

更多的數

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我們定義

,那麼 ,這在直觀上等價於「是在第天中出生的」。

那麼我們可以觀察發現:

  • ,其中

我們將超現實數集合稱作

序關係

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給定 ,我們(遞迴地)定義 若且唯若以下兩命題同時成立:

  • 沒有一個 符合
  • 沒有一個 符合

那麼可以自然地定義 。可以證明,這樣的二元關係是一個全序關係

我們分別將 稱為 負、 正、 非正、 非負。

我們定義 表示 同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在,但是這個關係會在之後的博弈章節出現。

運算

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加法

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我們定義超現實數之間的加法,其中

加法反元素

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我們定義負號(加法反元素)為 ,其中

可以驗證這兩個運算構成了(真類上的)阿貝爾群

乘法

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我們定義乘法運算為,其中

乘法反元素

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我們定義(正數的)乘法反元素,這樣除法就是 。我們可以發現這個定義是遞迴的,但是實際上這個數字是良定義的:我們取 那麼 會有一個 作為左項,導致了 會是一個右項。這又意味著 作為左項、 作為右項,以此類推,所以我們有 (考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 ,因此是相容的)。

對於負數,我們定義

子集對應

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有理數實數序數分別是超現實數的子集。

有理數

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所有二進分數都可以定義為超現實數,而所有分數都可以表示為兩個整數之比,因此所有有理數都可以表示為超現實數。

實數

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在定義出了有理數之後,使用戴德金分割可以立刻將實數映射到超現實數中。

假設,其中 ,那麼立刻可知存在 的一個超現實數表示,其中 是有理數到超現實數的域同態。

序數

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我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合[4]。所有序數的全體記為,那麼我們有:

這樣的同態可以保持序關係的結構,但是並不能保證算術的一一對應,比如 這一式子的值在序數中的結果是 ,而在超現實數中則是 .

博弈

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如果去除超現實數定義中對所有 的約定,那麼這樣(遞迴)定義出來的真類被稱做遊戲[5]。對其仍然可以(一模一樣的)定義加法、加法反元素以及比較。

顯然,所有的超現實數都是遊戲,但並非所有遊戲都是超現實數,例如 就不是,其滿足

可以發現,所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲,其中左集合表示第一位玩家(下稱左玩家)可以走到的局面,右集合則表示第二位玩家(下稱右玩家)的選擇,不能操作者負。

兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲,而每個玩家選擇其中一個進行操作,不能操作者負。

我們可以發現,這個遊戲的勝負取決於 的相對關係。

  • ,則後手必勝。
  • ,則左玩家必勝。
  • ,則右玩家必勝。
  • ,則先手必勝(英語:fuzzy game)。

有以下這些特殊的遊戲[6]

可以發現,關於他們有這麼幾個性質:

  • (比所有超現實數更接近0)

可以用於分析複雜的遊戲。

暫譯術語

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  • 超現實數(Surreal)
  • 無窮量(Infinitesimal)
  • 格羅滕迪克宇集

注釋

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  1. ^ 但當初在使用馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論來建立超現實數理論時,全體超現實數並不構成集合,而只構成真類,因此使用「」(field)此一術語看來不甚精確;在嚴格區分集合和真類顯然重要時,有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類,但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」(音同域)或「真類體」。如想得到一個真正的、作為集合的域,可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中,這樣的話就得到一個集合,其基數為一種強不可達基數;又或者使用另一種形式的集合論,在其中,任何超限遞迴構造總要在可數序數(比如 ,即艾普塞朗數)處停下。
  2. ^ Surreal number正式中文譯名尚未出現,但英語Surreal英語Surreal一詞與Surrealism聯繫起來的話,在中文裡後者譯為「超現實主義」,因此「超現實數」便作為surreal number的可能譯名。

來源

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  1. ^ 《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
  2. ^ 現在本書的中文譯文已經在大陸出版,見存档副本. [2012-05-10]. (原始內容存檔於2012-03-16). 
  3. ^ Conway, John H. On Numbers and Games 2. CRC Press. 2000-12-11 [1976]. ISBN 9781568811277. (原始內容存檔於2018-03-27) (英語). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Ordinal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-03-27] (英語). 
  5. ^ E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9. 
    E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (編). Surreal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-03-27] (英語).