A無窮代數

A無窮代數（A-infinity algebra，或 $\;A_{\infty }\;$-algebra）是吉姆·斯塔謝夫（Jim Stasheff）在1960年代研究H-空間的乘法的結合性時發現的一種代數結構，又稱為強同倫結合代數（strongly homotopy associative algebra）。1970年代陳國才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一個流形的同調群上用不同的方法各自發現了一種A無窮代數結構。1990年代深谷賢治在研究辛流形的拉格朗日Floer同調（Lagrangian Floer Homology）時推廣了斯塔謝夫的概念，稱為A無窮範疇（A-infinity category，$\;A_{\infty }\;$-category）。一般數學家把深谷的發現稱為深谷範疇（Fukaya category）。

定義

設$\;V\;$是數域$\;k\;$上的一個分次線性空間。$\;V\;$上的一個A無窮代數結構是一組映射

$\;m_{n}:V^{\otimes n}\to V,\quad m_{n}\;$的度數為$\;n-2,\;$

滿足以下4組關係：

1. $\;m_{1}=d\;$是一個微分，即$\;d^{2}=0;\;$
2. $\;m=m_{2}:V\otimes V\to V\;$是一個鏈映射，換言之$\;d\circ m=m\circ d;\;$可以把$\;m_{2}\;$看成一個乘法，並且這個乘法能夠降到同調上去；
3. $\;m_{3}:V^{\otimes 3}\to V\;$是乘法$\;m\;$關於結合律的同倫，即$\;a\cdot (b\cdot c)\neq (a\cdot b)\cdot c,\;$而是在同倫的意義下是結合的：$\;m_{3}d+dm_{3}=m(m\otimes Id)-m(Id\otimes m);\;$
4. $\;m_{4},\cdots \;$是高階同倫，即$\;m_{4}\;$是$\;m_{3}\;$的同倫，$\;m_{5}\;$是$\;m_{4}\;$的同倫等等，換言之$m_{n}d-(-1)^{n}dm_{n}=\sum _{i+j=n+1,i,j\geq 2}(-1)^{j}m_{i}\circ m_{j}.\;$

從上面的定義可以看出，對於一個A無窮代數，它的同調實際上形成一個結合代數。這也就是一個A無窮代數稱為強同倫結合代數的原因。

等價定義

如果讀者熟悉余代數的概念，那麼考慮$\;V\;$的元素度數降低1然後生成的張量代數，記為$\;TV[1]\;$。$\;TV[1]\;$上有一個自然的余積，為

$\;\Delta (a_{1}\otimes a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{n})=\sum _{i=0}^{n}a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}\bigotimes a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}.\;$

從而使$\;TV[1]\;$成為一個上代數。$\;V\;$上的一個A無窮代數結構就是$\;TV[1]\;$上的一個余導子（coderivation）$\;\delta \;$並且滿足$\;\delta ^{2}=0\;$。關於這兩個定義的等價性證明可以參考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的書。

詳解

Stasheff是怎樣得到A無窮代數的結構的呢？我們下面以一個具體的例子，同時也是Stasheff所考慮的原型來說明。設$\;M\;$是一個拓撲空間，$\;x\;$為其上一點。記

$\Omega M:=\{f:[0,1]\to M|f(0)=f(1)=x\},\;$

稱為$\;M\;$的環路空間（based loop space）。在$\;\Omega M\;$上我們可以定義一種乘法，如下：任給$\;\gamma _{1},\gamma _{2}\in \Omega M\;$，

$\;\gamma _{1}\circ \gamma _{2}:={\begin{cases}\gamma _{1}(2x),&{\mbox{ if }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\\gamma _{2}(2x-1),&{\mbox{ if }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1.\end{cases}}$

回憶學習基本群的時候，我們都驗證過這樣的乘法並不是結合的，但在同倫意義下是結合的：不難構造這樣的同倫，記為${\tilde {m}}_{3}$，

${\tilde {m}}_{3}:[0,1]\times [0,1]\to M,$

使得${\tilde {m}}_{3}(0,\cdot )=(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})\circ \gamma _{3}(\cdot ),{\tilde {m}}_{3}(1,\cdot )=\gamma _{1}\circ (\gamma _{2}\circ \gamma _{3})(\cdot )\;$。對於$\;\Omega M\;$裡面的4個元素，我們有下面五種乘法，他們是相互同倫的，如下圖所示：

圖中1表示恆同映射。這樣我們就得到了一個以圓周$\;S^{1}\;$為參數的一串從$\;[0,1]\;$到$\;M\;$的映射。事實上因為這些映射的像都是重合的，因而我們實際上可以把這一串映射延拓到以$\;S^{1}\;$為邊的圓盤$\;D^{2}\;$上，即為同倫之間的同倫，記為$\;{\tilde {m}}_{4}\;$。如此一直進行下去，我們就得到$\;{\tilde {m}}_{5},{\tilde {m}}_{6},\cdots \;$，等等。在鏈水平上，我們把$\;{\tilde {m}}_{n}\;$對應的映射記為$\;m_{n}\;$，則不難看出$\;m_{n}\;$就是滿足上面A無窮代數定義的那些算子。

例子

1. 一個平凡的例子是，任何一個（微分分次）結合代數都是一個A無窮代數。這裡只要令$\;m_{3},m_{4},\cdots \;$都等於0就行了。
2. 除了Stasheff的例子和上面這個平凡的例子之外，陳國才和Kadeishvili利用流形的微分形式也構造了一些A無窮的例子，其中陳國才的構造更為深刻，成為有理同倫論（rational homotopy theory）中一個重要的理論。給定一個流形，考慮它上面的微分形式，這是一個微分分次代數（differential graded algebra, DGA），同時我們還可以考慮它的上同調，賦以一個平凡的微分，則它也形成一個微分分次代數。但是這兩個微分分次代數不是鏈等價的！比如說，根據霍奇理論我們可以把上同調用調和形式作為代表，這種不等價性表現在兩個調和形式的外積不一定是調和的。根據霍奇分解，我們可以把這種乘積再投射到調和形式裡面去，但是這樣定義出來的乘法卻不再是結合的，但是在同倫的意義下結合。以此，我們實際上得到了一種A無窮代數。這就是陳國才和Kadeishvili以及後來研究者的基本思路，但是陳國才走的更遠，他實際上揭示了這種A無窮代數跟流形的環路空間的拓撲之間的關係，以及這些A無窮代數的在某些情況下的退化跟流形本身的一些拓撲障礙有關係，跟Sullivan後來研究流形的形式化（formality）有相似之處。

科祖對偶和有理同倫論

Stasheff的A無窮代數的概念自然地出現在關於一般代數結構的分解（resolution）的理論中。給定一個代數結構，我們希望能夠通過對它的分解看清其中的結構（對比於流形，這樣分解就是波斯尼科夫塔）。這其中，所謂的科祖分解是一種非常有效的分解方式，而A無窮代數則非常自然地出現在結合代數的Koszul分解過程當中：對於一個結合代數，它的科祖分解有一個A無窮代數結構，而這個A無窮代數的科祖分解又是一個A無窮代數，如此不已。但是，原來的結合代數和兩次科祖分解後得到的A無窮代數實際上是鏈等價的，第二個分解和第四個分解也是如此，如此循環。這就是所謂的科祖對偶（Koszul duality）的概念。

對於李代數和交換代數，我們同樣可以進行科祖分解。一個李代數的科祖分解有一個C無窮代數（C是交換commutativity的英文縮寫）結構，而一個交換代數的科祖分解有一個李無窮代數結構。所謂李無窮代數和C無窮代數，正如A無窮代數一樣，他們的同調分別是李代數和交換代數。李代數和交換代數分別是一種特殊的李無窮代數和C無窮代數。由一個李代數經過科祖分解後到C無窮代數然後再經科祖分解到李無窮代數，所得的這兩個李無窮代數實際上是同倫等價的，對於交換代數也是如此。因此我們可以說，李代數和交換代數是相互科祖對偶的。這個結論實際上是奎倫在有理同倫論中發現的，他還證明，在有理係數下，這兩個代數組成的範疇都和拓撲中的有理同倫型（rational homotopy type）組成的範疇是等價的（有一些單連通性條件）。後來 Sullivan通過考察流形的微分形式，得到了類似的結果，但是更幾何，更直觀。

A無窮範疇

考慮一個範疇$\;{\mathfrak {C}}\;$。對於其中的四個對象及其之間態射

$\;A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C{\stackrel {h}{\longrightarrow }}D,\;$

我們有

$\;(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h),\;$

這顯示了這些態射之間有一種結合性。一個A無窮範疇就是打破這些結合性，使之成為在同倫意義下是結合的，同時有高階同倫算子，成為同倫的同倫，同倫的同倫的同倫，等等。因此一個A無窮範疇並不是一個範疇，而是同倫意義下的範疇：它的「同調」形成一個範疇。

深谷在研究辛拓撲的時候發現了這個A無窮範疇的結構。給定一個辛流形，考慮其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。對其中任意兩個拉格朗日子流形，考慮所謂的拉格朗日Floer鏈復形，形成所謂的態射。深谷發現這些態射之間可以定義乘法，但是這個乘法本身不結合但在同倫意義下結合，他並構造了高階同倫算子，使之成為一個A無窮範疇，現在稱為深谷範疇。

相關概念

• B無窮代數（$\;B_{\infty }\;$-algebra）
• C無窮代數（$\;C_{\infty }\;$-algebra）
• E無窮代數（$\;E_{\infty }\;$-algebra）
• G無窮代數（$\;G_{\infty }\;$-algebra）
• 李無窮代數（$\;L_{\infty }\;$-algebra）

參考文獻

Stasheff關於A無窮代數的構造見：

• Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312.
• Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

陳國才的$\;A_{\infty }\;$-代數的構造，並不是在文章中明顯給出的，但不難推導，見：

• Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.

Kadeishvili的文章發表於1980年，作者後來重新整理，題為On the homology theory of fiber spaces （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。原文見：

• Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188.

關於Koszul對偶，最經典的文章見：

• Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.

Quillen的有理同倫論，見：

• Quillen, Daniel, Rational homotopy theory. Ann. of Math. (2) 90 1969 205-295.

Sullivan的有理同倫論，見：

• Sullivan, Dennis, Infinitesimal computations in topology.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 47 (1977), 269-331 (1978).

關於Fukaya範疇，見他的主頁（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上的文章，以及

• Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.