Elias Delta編碼

Elias Delta編碼、Elias delta code是一種用於正整數之通用編碼。該碼由彼得·埃利亞斯發明。

編碼

對於待編碼正整數 X≥1：

1. 令 N=⌊log₂ X⌋ ，故 2^N ≤ X < 2^N+1
2. 令 L=⌊log₂ N+1⌋ ，故 2^L ≤ N+1 < 2^L+1
3. 輸出 L 個零位元，接著輸出
4. N+1 之 L+1 位元二進位數，接著輸出
5. X 的最後 N 個位元。

另一個等價的編碼方式為：

1. 將 X 分割成小於其之最大二的次方 (2^N) 和餘下的 N 個位元之和
2. 將 N+1 進行以編碼
3. 將餘下的 N 個位元接在上述之後。

要對 $x$ 進行編碼，以利亞戴爾達碼必須使用 $\lfloor \log _{2}(x)\rfloor +2\lfloor \log _{2}(\lfloor \log _{2}(x)\rfloor +1)\rfloor +1$ 個位元。

以下為一編碼對照表：

數	N	N+1	編碼	代表之機率
1 = 20	0	1	1	1/2
2 = 21 + 0	1	2	0 1 0 0	1/16
3 = 21 + 1	1	2	0 1 0 1	1/16
4 = 22 + 0	2	3	0 1 1 00	1/32
5 = 22 + 1	2	3	0 1 1 01	1/32
6 = 22 + 2	2	3	0 1 1 10	1/32
7 = 22 + 3	2	3	0 1 1 11	1/32
8 = 23 + 0	3	4	00 1 00 000	1/256
9 = 23 + 1	3	4	00 1 00 001	1/256
10 = 23 + 2	3	4	00 1 00 010	1/256
11 = 23 + 3	3	4	00 1 00 011	1/256
12 = 23 + 4	3	4	00 1 00 100	1/256
13 = 23 + 5	3	4	00 1 00 101	1/256
14 = 23 + 6	3	4	00 1 00 110	1/256
15 = 23 + 7	3	4	00 1 00 111	1/256
16 = 24 + 0	4	5	00 1 01 0000	1/512
17 = 24 + 1	4	5	00 1 01 0001	1/512

解碼

以利亞戴爾達碼之解碼遵循下列步驟：

1. 讀取並計數零位元直到第一個一位元出現，假設共有 ^L 出現
2. 從第一個一位元之後，再讀取 ^L 個位元，並將已讀取之 2^L+1 個位元還原成十進位正整數。假設該正整數為 N+1
3. 再讀取 N 個位元並將之還原成十進位正整數，令之為 M
4. 最終解碼為 2^N+M

舉例：

001010011
1. 最左方有兩個零位元 001
2. 再讀取兩個位元 00101
3. 還原 00101 = 5
4. 再讀取 N = 5 − 1 = 4 個位元 0011 = 3
5. 解碼為 = 24 + 3 = 19

範例程式碼

編碼

void eliasDeltaEncode(char* source, char* dest)
{
    IntReader intreader(source);
    BitWriter bitwriter(dest);
    while (intreader.hasLeft())
    {
        int num = intreader.getInt();
        int len = 0;
        int lengthOfLen = 0;
        for (int temp = num; temp > 0; temp >>= 1)  // calculate 1+floor(log2(num))
            len++;
        for (int temp = len; temp > 1; temp >>= 1)  // calculate floor(log2(len))
            lengthOfLen++;
        for (int i = lengthOfLen; i > 0; --i)
            bitwriter.outputBit(0);
        for (int i = lengthOfLen; i >= 0; --i)
            bitwriter.outputBit((len >> i) & 1);
        for (int i = len-2; i >= 0; i--)
            bitwriter.outputBit((num >> i) & 1);
    }
    bitwriter.close();
    intreader.close();
}

解碼

void eliasDeltaDecode(char* source, char* dest)
{
    BitReader bitreader(source);
    IntWriter intwriter(dest);
    while (bitreader.hasLeft())
    {
        int num = 1;
        int len = 1;
        int lengthOfLen = 0;
        while (!bitreader.inputBit())     // potentially dangerous with malformed files.
            lengthOfLen++;
        for (int i = 0; i < lengthOfLen; i++)
        {
            len <<= 1;
            if (bitreader.inputBit())
                len |= 1;
        }
        for (int i = 0; i < len-1; i++)
        {
            num <<= 1;
            if (bitreader.inputBit())
                num |= 1;
        }
        intwriter.putInt(num);            // write out the value
    }
    bitreader.close();
    intwriter.close();
}

一般化

以利亞戴爾達碼並不適用於零或負整數。一個一般化的方式是在最左側先加一個一位元，解碼時再行扣掉。另一個方法是在編碼前將所有整數對映至正整數，例如：(0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...) 對應至 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)。

參考項目

• Elias, Peter (March 1975). "Universal codeword sets and representations of the integers". IEEE Transactions on Information Theory 21 (2): 194–203.
• Classical and Quantum Information Theory: An Introduction for the Telecom ...（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Database Systems for Advanced Applications: 15th International Conference ...（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Web Data Mining: Exploring Hyperlinks, Contents, and Usage Data（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）