图论术语

图论中有许多专有名词，此处总结了一些名词的一般意义和用法。

基本术语

一个图（一般记作 $G$ ）由两类元素构成，分别称为“顶点”（或节点、结点）和“边”。每条边有两个顶点作为其端点，我们称这条边“连接”了它的两个端点。因此，边可定义为由两个顶点构成的集合（在有向图中为有序对，见下文“方向”一节）。

图也可以用其他模型来表示，如定义在顶点集合上的二元布尔函数，或者方形(0,1)-矩阵。

顶点或边上有标号的图称为有标号的，否则为无标号的。它们的区别在于，无标号的图并没有为顶点或边指定一个特定的顺序。

图的标号一般指按某一规则为图的顶点或边指定一个标号。标号通常是自然数，且一般互不相同。

一个有标号的简单图，点集V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，边集E = {{1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6}}。

一个超边是允许连接任意多个（可以多于两个）顶点的“边”。含有超边的“图”称为超图。边可视为恰连接两个顶点的超边，因此图可视为一种特殊的超图。

空图或秃图是没有边的图。

如果一个图有无穷多的顶点和/或边，则称其为无穷的，否则为有穷的。如果一个图是无穷的，但每个顶点的度（见下）是有限的，则称为局部有穷的。一般假定“图”指有穷图。

两个图 $G$ 和 $H$ ，如果存在 $V(G)$ 与 $V(H)$ 之间的一一对应，使得图 $G$ 中两个顶点相连当且仅当它们在图 $H$ 中的对应顶点相连，则称图 $G$ 和 $H$ 同构，记作 $G\simeq H$ 。类似地，如果仅仅是 $V(G)$ 到 $V(H)$ 的映射而不一定是一一对应，则称此映射是 $G$ 到 $H$ 的同态。

边

一条边一般表示为连接其两个端点的曲线。以两个顶点 $u$ 、 $v$ 为端点的边一般记作 $(u,v)$ 、 $\{u,v\}$ 或 $uv$ 。一条边连接两个顶点u、v时，称u与v相邻。图 $G$ 的边集一般记作 $E(G)$ ，当不发生混淆时可简记为 $E$ 。

补图

图 $G$ 的补图 ${\bar {G}}$ 是这样一的图，它的点集与 $G$ 相同，而每条边 $(u,v)$ 存在于 ${\bar {G}}$ 中当且仅当它不存在于 $G$ 中。

顶点

一个顶点一般表示为一个点或小圆圈。一个图 $G$ 的顶点集（点集）一般记作 $V(G)$ ，当不发生混淆时可简记为 $V$ 。图 $G$ 的阶为其顶点数目，亦即| $V(G)$ |。

度

若两个点之间有一条边，则这两个点相邻。关联一个点 $v$ 的边的条数称为是 $v$ 度数（degree）或价（valency）。特别的，若 $G$ 不是多重图时，它等于这一点的邻点个数。

一个顶点被称作孤立顶点，当它的度数为 $0$ 。

$G$ 的最小度记为 $\delta (G):=min\left\{d(v)|v\in V\right\}$

$G$ 的最大度记为 $\Delta (G):=max\left\{d(v)|v\in V\right\}$

$G$ 的平均度记为 $d(G):={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}$

称 $G$ 为k-正则的，当 $G$ 的所有顶点都有相同的顶点度k。特别的，3-正则图被称作立方图。

二分图

图 $G$ 是二分图当且仅当它的点集 $V$ 能被划分成两块 $X$ 和 $Y$ ，使得对于 $G$ 中的任意一条边，它有一个端点属于 $X$ 而另一个端点属于 $Y$ 。

环

看环（图论）。

结

距离

距离是两个顶点之间经过最短路径的边的数目，通常用 $d_{G}(u,v)$ 表示。

顶点 $v$ 的偏心率（eccentricity），用来表示连接图 $G$ 中的顶点 $v$ 到图 $G$ 中其它顶点之间的最大距离，用符号 $\epsilon _{G}(v)$ 表示。

图的直径（diameter），表示取遍图的所有顶点，得到的偏心率的最大值，记作 $diam(G)$ 。相对于直径的一个概念是图的半径（radius），表示图的所有点的偏心率的最小值，记作 $rad(G)$ 。这两者间的关系是： $diam(G)\leqslant 2rad(G)$

立方图

连通图／连通性

称 $G$ 是连通的，如果非空图 $G$ 的任意两个顶点之间均有一条路相连。

称 $G$ 是k-连通的，如果非空图 $G$ 的任意两个顶点之间都有 $k$ 条独立路相连。k-连通的的另外一个定义是：若 $\mid G\mid >k\in \mathbb {N}$ ,且对任意满足 $|X|<k$ 的子集 $X\subseteq V$ 均有 $G-X$ 是连通的，则称 $G$ 是k-连通的。由门格尔定理，易知这两个定义是等价的。通过k-连通的概念，定义使得 $G$ 是k-连通的最大整数 $k$ 称作 $G$ 的连通度。

类似的，还可以引入k-边连通的概念：称一个 $\mid G\mid$ 的图 $G$ 是k-边连通的，如果对任意一个满足 $\mid F\mid <k$ 的边的集合 $F$ ， $G-F$ 均是连通的。同样， $G$ 的边连通度是使得 $G$ 是k-边连通的最大整数。

旅行推销员问题

计算机科学中最有名的问题之一。

欧拉路径

一笔画问题、也看哈密尔顿环。

匹配

平面图

库拉托夫斯基定理描述了有点平面图。有名的欧拉公式也说：V-E+F=2. 这是欧拉示性数。

嵌入

强连通分量

桥

路径

路径（walk），又译作途径。一个长度为 $k$ 的路径是一个非空的顶点和边的交错序列 $v_{0}e_{0}v_{1}e_{1}...e_{k-1}v_{k}$ ，使得对于所有 $i<k$ 均有 $e_{i}={v_{i}v_{i+1}}$ 。特别的，当 $v_{0}=v_{k}$ 时，称这个路径是闭的（closed）；当路径中的顶点互不相同，得到 $G$ 的一条路。^[1]

树

连通无圈图称为树，一般记为T。其中，度数为1的顶点称为叶子，否则称为内点。有时我们会从树中选出一个顶点作为特殊顶点，称之为根以示区分，此时称此树为有根树。有根树常作为有向无环图来处理。

树T的连通子图称为T的子树。

树也是一个团的森林。

森林

无环（不一定连通）图称为森林，森林F的子图称为F的子森林。

如果图G的一个生成子图是树，则称该子图为生成树。

星是仅有一个顶点不是叶子的树。星也可以表示为完全二分图K_1,n。

缩图

随机图

团

图中的团是由图中两两相邻的顶点构成的集合。

Utility graph

完全图

完全图是所有顶点两两相邻的图。n阶完全图，记作K_n。如图所示为K₅。n阶完全图有n(n-1)/2条边。

网络流

重要的计算机科学、最优化理论、与算法学的题目。也看最大流最小割定理。

围长

圍長定義為圖所包含的最短環長，也被称为"girth"。

线图

相邻

兩頂點相鄰，意思是之間有一條邊。

叶子

看以上的树术语。

正则图

自环

一个自环是两个端点为同一顶点的边。如果有多于一条边连接同一对顶点，则它们均被称为重边。一个图的重数是重复次数最多的边的重复次数。如果一个图不含自环或重边，则称为简单图。多数情况下，如无特殊说明，可以假定“图”总是指简单图。

着色

图着色问题包含四色定理，数学中最有名的问题之一。现代的证明用电脑、文章很长。

子图

两个图G和H，如果V(H)是V(G)的子集且E(H)是E(G)的子集（当然，E(H)中只能包含将V(H)中的顶点相连的边）则称H是G的子图。如果图G和H不相等，即V(H)是V(G)的真子集或E（H）是E（G）的真子集，则称H是G的真子图。如果H是G的子图或者存在一个G的子图与H同构，则称G包含H。

如果图G的子图H满足V(H)=V(G)，即图H包含图G的所有顶点，则称H是G的支撑子图或生成子图。

如果图G的子图H满足边(u,v)在图H中当且仅当边(u,v)在图G中，即图H包含了图G中所有两个端点都在V(H)中的边，则称H是G的导出子图。

对于图的某个性质而言，如果图G具有此性质而G的任一真子图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极小图。类似地，如果图G具有此性质而任一以G为真子图的图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极大图。

最短路问题

重要的计算机科学、与算法学的题目。也看Dijkstra算法、Kruskal算法、等。

定理术语

彼得森定理
布鲁克斯定理
柯尼格引理
柯尼格定理 (圖論)（英语：Kőnig's theorem (graph theory)）
库拉托夫斯基定理
拉姆齐定理（而且看拉姆齐理论）
门格尔定理（Menger's Theorem）
图特定理
Vizing定理
最大流最小割定理

图的方向

有向无环图

代数图论

不变量

亏格（几何、拓扑）

看以上的平面图。

譜圖論

参考来源

^ R.Diestel. 图论第四版. 高等教育出版社. : 10.

参见

[1] R.Diestel. 图论第四版. 高等教育出版社. : 10.

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