复合函数

复合函数（英語：Function composition），又稱作合成函數，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$ 可以复合，得到从 $X$ 中的 $x$ 映射到 $Z$ 中 $g (f (x))$ 的函数。直观来说，如果 $z$ 是 $y$ 的函数， $y$ 是 $x$ 的函数，那么 $z$ 是 $x$ 的函数。得到的复合函数记作 $g \circ f : X \to Z$ ，定义为对 $X$ 中的所有 $x$ ， $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ 。^{[note 1]} 直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。

函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。^[1] 复合函数还有一些其他性质。

定義

考慮到函數的值域跟定义域，要簡單的以“計算式”，如把所有 $(x,\,x+1)$ 和 $(y,\,{\sqrt {y}})$ 的有序对頭接尾的這樣直觀定義“合成”是會遇到問題的，像是把 $x$ 取為实数，這樣把 $x+1$ 很自然的對接到 $y$ 然後開根號成 ${\sqrt {y}}$ ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的“合成函數”的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備“合成”的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。

如果我們有兩個函數 $f$ 和 $g$ ，而兩者的定義域分別是 $D_{f}$ 和 $D_{g}$ ；值域分別是 $I_{f}$ 和 $I_{g}$ 。如果 $I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing$ ，那我們定義合成函數為

g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}

直觀上來說，如果 $f$ 的“輸出範圍”是有一部分在 $g$ 的“輸入範圍”，那我們就可以定義“先作用 $f$ 再作用 $g$ ”的函數，但這個“新合成”的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 $x$ 而已）。注意到每個 $x$ 只會有一個輸出值 $y$ ，而每個 $y$ 只會有一個輸出值 $z$ ，所以這樣“先作用 $f$ 再作用 $g$ ”的話，每個 $x$ 只會有一個輸出值 $z$ 而已，這確保了 $g\circ f$ 符合我們對函數的要求。

当 $g\circ f=f\circ g$ 时（注意這是集合的相等！），我们会说 $g$ 和 $f$ 是可交换的。

兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。

涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。

例子

$g \circ f$ ， $f$ 与 $g$ 的复合。例如， $(g \circ f)(c) = #$ .

有限集上的函数复合：若 $f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}$ ， $g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}$ ，则 $g \circ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}$ .
无限集上的函数复合：若 $f : ℝ \to ℝ$ （其中 $ℝ$ 是所有实数的集合）表达式为 $f (x) = 2 x + 4$ ，而 $g : ℝ \to ℝ$ 表达式为 $g (x) = x 3$ ，则：

(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

，且

(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

如果一架飞机在 $t$ 时刻的海拔为 $h (t)$ ，而海拔 $x$ 处的氧气浓度为 $c (x)$ ，那么 $(c \circ h)(t)$ 描述了 $t$ 时刻飞机周围的氧气浓度。

复合幺半群

假设我们有两个（或多个）函数 $f : X \to X,$ $g : X \to X$ ，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 $f \circ f \circ g \circ f$ 。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 $f : X \to X$ 的集合称作 $X$ 上的全变换半群^[2]或对称半群^[3]。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。^[4]）

如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凱萊定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。^[5]

所有双射函数 $f : X \to X$ （称作置換）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。

在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。^[6]

函数幂

如果 $Y \subseteq X$ ，则 $f : X \to Y$ 有可能可以与自身复合；这有时候记作 $f 2$ 。即：

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

更一般地，对于 $n \geq 2$ 的自然数， $n$ 次函数冪可以归纳定义为 $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ . 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。

习惯上， $f 0$ 定义为 $f$ 定义域上的恒同映射， $id X$ .
如果 $Y = X$ ，而 $f : X \to X$ 存在反函數 $f -1$ ，那么对于 $n > 0$ ，负函数幂 $f - n$ 定义为反函数的幂： $f - n = (f -1) n$ .

注意：若 $f$ 在一个环内取值（特别是对于实值或复值 $f$ ），存在混淆的风险，因为 $f n$ 也可以表示 $f$ 的 $n$ 次乘积，比如 $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 $sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如， $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

在一些情况下，对于给定函数 $f$ ，方程 $g \circ g = f$ 只有一个解 $g$ 的时候，该函数可以定义为 $f$ 的函数平方根，记作 $g = f 1/2$ .

更一般地，当 $g n = f$ 只有唯一解时（自然数 $n > 0$ ）， $f m / n$ 可以定义为 $g m$ .

在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。

为避免混淆，有些数学家把 $f$ 的 n 次迭代写作 $f ° n$ .

其他记法

许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 $g \circ f$ 写作 $gf$ .^[7]

在20世纪中叶，一些数学家认为用“ $g \circ f$ ”来表示“首先施加 $f$ ，然后施加 $g$ ”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“ $xf$ ”来代表“ $f (x)$ ”，用“ $(xf) g$ ”来代表“ $g (f (x))$ ”。^[8] 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 $x$ 为行向量， $f$ 和 $g$ 表示矩阵，而复合是通过矩陣乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。

使用后缀表示法的数学家可能会写“ $fg$ ”，表示先施加 $f$ 再施加 $g$ ，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“ $fg$ ”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 $f; g$ 来表示 [1] ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。^[9] 由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用[粗]分号（参见关系复合条目了解此记法的详细内容）。

复合算子

给定函数 $g$ ，复合算子 $C g$ 定义为使得

C_{g}f=f\circ g.

的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

多元函数

对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 $f$ 的部分参数 $x i$ 由 $g$ 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 $f | x i = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

当 $g$ 是一个常数 $b$ 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。^[10]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 $f$ ，一个 $n$ 元函数， $n$ 个 $m$ 元函数 $g 1, ..., g n$ ， $f$ 与 $g 1, ..., g n$ 的复合是 $m$ 元函数

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))

.

这有时称作 f 与 $g 1, ..., g n$ 的广义复合。^[11] 在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中， $g 1, ..., g n$ 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。^[12]

某些基本集 X 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。^[11] 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 n的函数 f 是保持 g 的同态函数（g 的元数为 m），则可以说 f与 g 是可交换的，反之亦然。例如：^[13]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))

.

一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。^[13]

推广

复合可以推广到任意二元关系。若 $R \subseteq X \times Y$ 与 $S \subseteq Y \times Z$ 是两个二元关系，则它们的复合 $S \circ R$ 是定义为 ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ . 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。^[14]

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。^[15] 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

排版

复合算子 $\circ$ 编码为U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作\circ。

参见

组合子逻辑
函数分解（英语：Functional decomposition）
迭代函数
解析函数的无限复合（英语：Infinite compositions of analytic functions）
流
高阶函数
蛛网图（英语：Cobweb plot），函数复合的图形方法
Λ演算
函数平方根（英语：Functional square root）
复合环（英语：Composition ring），复合运算的形式公理化
随机变量函数

注释

^ 有些作者使用 $f \circ g : X \to Z$ ，定义为 $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

参考文献

^ Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
^ Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Pierre A. Grillet. Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. 1995: 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
^ Pál Dömösi; Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic Theory of Automata Networks: A Introduction. SIAM. 2005: 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
^ Nathan Carter. Visual Group Theory. MAA. 9 April 2009: 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
^ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk. Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. 2008: 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
^ Oleg A. Ivanov. Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. 1 January 2009: 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
^ Jean Gallier. Discrete Mathematics. Springer. 2011: 118 [2018-08-05]. ISBN 978-1-4419-8047-2. （原始内容存档于2019-06-06）.
^ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
^ Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691 [2018-08-05]. doi:10.1109/tc.1986.1676819. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-29）.
^ ^11.0 ^11.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.
^ George Tourlakis. Theory of Computation. John Wiley & Sons. 2012: 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
^ ^13.0 ^13.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
^ S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv
^ Peter Hilton; Yel-Chiang Wu. A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. 1989: 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

外部链接

Hazewinkel, Michiel (编), Composite function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
"Composition of Functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[1] 有些作者使用 $f \circ g : X \to Z$ ，定义为 $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

[Velleman2006-2] Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[3] Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[Grillet1995-4] Pierre A. Grillet. Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. 1995: 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.

[DömösiNehaniv2005-5] Pál Dömösi; Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic Theory of Automata Networks: A Introduction. SIAM. 2005: 8. ISBN 978-0-89871-569-9.

[Carter2009-6] Nathan Carter. Visual Group Theory. MAA. 9 April 2009: 95. ISBN 978-0-88385-757-1.

[GanyushkinMazorchuk2008-7] Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk. Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. 2008: 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[Ivanov2009-8] Oleg A. Ivanov. Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. 1 January 2009: 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.

[Gallier2011-9] Jean Gallier. Discrete Mathematics. Springer. 2011: 118 [2018-08-05]. ISBN 978-1-4419-8047-2. （原始内容存档于2019-06-06）.

[10] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

[11] Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691 [2018-08-05]. doi:10.1109/tc.1986.1676819. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-29）.

[Bergman2011-12] 11.0 ^11.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[Tourlakis2012-13] George Tourlakis. Theory of Computation. John Wiley & Sons. 2012: 100. ISBN 978-1-118-31533-0.

[Bergman2011b-14] 13.0 ^13.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[15] S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv

[HiltonWu1989-16] Peter Hilton; Yel-Chiang Wu. A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. 1989: 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

[note 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英语：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射满射双射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英语：Partial function）多值隱
查论编