哈特格斯数

在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。

然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合$X$，与之对应的哈特格斯数是不与$X$的任何子集等势的最小序数$\alpha$。如果$X$并非良序的话，我们其实不能说$\alpha$一定是势大于$X$的最小良序集；但是，我们仍然可以确定$\alpha$的势至少不小于——或者说大于等于——$X$的势。从$X$到$\alpha$的映射，被称作哈特格斯函数（Hartogs's function）。

证明

由集合论的一些基本定理可以很容易证明哈特格斯数的存在：

令

$\alpha =\{\beta \in \mathbf {Ord} |\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$

为所有满足“存在从该序数$\beta$到集合$X$的单射”的序数$\beta$组成的类。

首先，我们来证明$\alpha$是集合：

1. 由幂集公理，$X\times X$是集合。
2. 再由幂集公理，${\mathcal {P}}(X\times X)$是集合。（列舉出任意二元關係）
3. 由分离公理，$X$的所有自反良序子集组成的类$W$是集合（因为它是从${\mathcal {P}}(X\times X)$中分离得到）。（從任意二元關係選出自反良序的二元關係）
4. 由替换公理可知，$W$中良序集的序类型是集合——该集合正是$\alpha$。

接下来，由于屬於$\alpha$的元素皆是传递集，而參照传递集的定義，其元素為其子集，那麼便形成單射，於是乎便屬於$\alpha$。因此$\alpha$是序数。更进一步地，不存在从$\alpha$到$X$的单射——否则就会导致$\alpha \in \alpha$的矛盾（因为$\alpha$是序数，这也就是说$\alpha <\alpha$）。最后，$\alpha$也是满足这一性质的最小序数，否则，如果有一序数$\beta <\alpha$，那么$\beta \in \alpha$，也就是说$\exists i:\beta \hookrightarrow X$。

而不存在$\alpha$到$X$的单射也就意味着$\alpha$与$X$的任意子集都不等势。

历史评价

值得一提的是，在1915年，哈特格斯能够使用的数学工具中既不包括冯·诺伊曼序数也不包括替换公理，因此他的结论是单纯建立在策梅洛集合论上的，导致其与现今的阐述有很大的不同。相反地，他当时考虑的是$X$的良序子集的同构类的集合，以及这一集合上“$A<B$当且仅当$A$同构于$B$的真前段”的关系。哈特格斯证明了存在一个良序集大于$X$的任意良序子集。（这是历史上第一次真正构造出不可数良序集。）然而，他的真正目的其实是证明基数三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（进一步则等价于选择公理）。

参见

• 后继基数（Successor cardinal）
• 阿列夫数

参考文献

• Hartogs number. [2019-05-20]. （原始内容存档于2017-02-01）. 
• 郝兆宽 杨跃. 集合论：对无穷概念的探索. 复旦大学出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 （中文）.