哈特格斯數

在數學特別是公理化集合論中，哈特格斯數（Hartogs number）是一類特殊的基數。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年從策梅洛-弗蘭克爾集合論中單獨導出（沒有使用選擇公理），用於證明對任意給定的良序集，至少有一個良序集的基數大於它。

然而，要構造哈特格斯數其實並不需要從良序集出發：對任意集合 $X$ ，與之對應的哈特格斯數是不與 $X$ 的任何子集等勢的最小序數 $\alpha$ 。如果 $X$ 並非良序的話，我們其實不能說 $\alpha$ 一定是勢大於 $X$ 的最小良序集；但是，我們仍然可以確定 $\alpha$ 的勢至少不小於——或者說大於等於—— $X$ 的勢。從 $X$ 到 $\alpha$ 的映射，被稱作哈特格斯函數（Hartogs's function）。

證明

由集合論的一些基本定理可以很容易證明哈特格斯數的存在：

令

$\alpha =\{\beta \in \mathbf {Ord} |\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$

為所有滿足「存在從該序數 $\beta$ 到集合 $X$ 的單射」的序數 $\beta$ 組成的類。

首先，我們來證明 $\alpha$ 是集合：

由冪集公理， $X\times X$ 是集合。
再由冪集公理， ${\mathcal {P}}(X\times X)$ 是集合。（列舉出任意二元關係）
由分離公理， $X$ 的所有自反良序子集組成的類 $W$ 是集合（因為它是從 ${\mathcal {P}}(X\times X)$ 中分離得到）。（從任意二元關係選出自反良序的二元關係）
由替換公理可知， $W$ 中良序集的序類型是集合——該集合正是 $\alpha$ 。

接下來，由於屬於 $\alpha$ 的元素皆是傳遞集，而參照傳遞集的定義，其元素為其子集，那麼便形成單射，於是乎便屬於 $\alpha$ 。因此 $\alpha$ 是序數。更進一步地，不存在從 $\alpha$ 到 $X$ 的單射——否則就會導致 $\alpha \in \alpha$ 的矛盾（因為 $\alpha$ 是序數，這也就是說 $\alpha <\alpha$ ）。最後， $\alpha$ 也是滿足這一性質的最小序數，否則，如果有一序數 $\beta <\alpha$ ，那麼 $\beta \in \alpha$ ，也就是說 $\exists i:\beta \hookrightarrow X$ 。

而不存在 $\alpha$ 到 $X$ 的單射也就意味着 $\alpha$ 與 $X$ 的任意子集都不等勢。

歷史評價

值得一提的是，在1915年，哈特格斯能夠使用的數學工具中既不包括馮·諾伊曼序數也不包括替換公理，因此他的結論是單純建立在策梅洛集合論上的，導致其與現今的闡述有很大的不同。相反地，他當時考慮的是 $X$ 的良序子集的同構類的集合，以及這一集合上「 $A<B$ 若且唯若 $A$ 同構於 $B$ 的真前段」的關係。哈特格斯證明了存在一個良序集大於 $X$ 的任意良序子集。（這是歷史上第一次真正構造出不可數良序集。）然而，他的真正目的其實是證明基數三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（進一步則等價於選擇公理）。

參見

後繼基數（Successor cardinal）
阿列夫數

參考文獻

Hartogs number. [2019-05-20]. （原始內容存檔於2017-02-01）.
郝兆寬楊躍. 集合论：对无穷概念的探索. 復旦大學出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 （中文）.