希尔伯特-施密特算子

在数学中，一个希尔伯特-施密特算子(英語：Hilbert–Schmidt operator)（得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数

$\|A\|_{HS}^{2}={\rm {Tr}}(A^{*}A):=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}$，

其中$\|\ \|$是H上的范数，$\{e_{i}:i\in I\}$是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有

$\|A\|_{HS}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}$，

其中$A_{i,j}=\langle e_{i},Ae_{j}\rangle$，$\|A\|_{2}$为$A$在p = 2时的Schatten范数。在欧几里得空间中，$\|\ \|_{HS}$也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义

$\langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle$。

希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的Banach代数的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到希尔伯特空间的张量积

$H^{*}\otimes H$，

其中H^∗是H的对偶空间。

希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集，当且仅当H是有限维空间。

一类重要的例子是希尔伯特-施密特积分算子。

希尔伯特-施密特算子是二阶核型算子，因此是紧的。

另请参阅

• 弗羅貝尼烏斯內積